Demostrar que el núcleo de un homomorfismo de grupo $\phi$ es un subgrupo y que $\phi$ es inyectiva

Question

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio:

Dejemos que $\phi : G_1 \rightarrow G_2$ sea un homomorfismo (donde $G_1$ y $G_2$ son grupos) y $\ker \phi := \{ g \in G_1 \mid \phi(g) = e \}$

ahora tengo que demostrar que

a) $\ker \phi$ es un subgrupo de $G_1$ ,

b) $\phi$ es inyectiva si y sólo si $\ker \phi = \{ e \}$

Mi problema: Hasta ahora no hemos tratado realmente el tema de los homomorfismos entre grupos en nuestras clases. De todos modos lo busqué en wikipedia y encontré que la definición de subgrupo es la siguiente: $(U, \circ)$ es un subgrupo de $(G, \circ)$ si $U$ no es un conjunto vacío. Por lo tanto:

• $a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$
• $a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$
• $a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U$

así que empecé a trabajar con estas definiciones. De alguna manera me las arreglé para demostrar lo que se supone que debo hacer, pero no estoy seguro de si lo hice de la manera correcta. Estaría muy agradecido por algunas palabras adicionales a mi intento y también correcciones. Muchas gracias de antemano.

Mi intento:

a) $\ker \phi$ es un subgrupo de $G_1$ . Así que podemos tomar dos elementos $x,y \in \ker \phi$ que son $x := \phi(g_1) = e $ y $y := \phi(g_2) = e $ y demostrar que $x^{-1}$ y $x \circ y$ $\in$ $\ker \phi$ .

Desde $x\circ x^{-1} \in \ker \phi$ podemos decir: $x\circ x^{-1} = e \ \Leftrightarrow \ \overbrace{\phi(g_1)}^{= \ e} \circ x^{-1} = e \ \Rightarrow \ x^{-1} = e \ \Rightarrow \ x^{-1} \in \ker \phi$ .

También debe ser cierto que $x \circ y \in \ker \phi$ esto se demuestra fácilmente: $x \circ y \ \Leftrightarrow \ \overbrace{\phi(g_1)}^{= \ e} \circ \overbrace{\phi(g_2)}^{= \ e} = e \ \Rightarrow \ x \circ y \in \ker\phi$

b) Para demostrar que $\phi$ es inyectiva cuando $ \ker\phi = \{ e_{G_1} \}$ debemos demostrar que $ \ker\phi = \{ e_{G_1} \}$ tiene una sola fibra que luego tiene que ser $\phi^{-1}(e_{G_2})$ .

Así que podemos tomar dos elementos $g_1,g_2 \in G_1$ y si $\phi(g_1) = \phi(g_2) = e \ \Rightarrow \ g_1 = g_2$ podemos afirmar que $\phi$ con $\ker \phi = \{e\}$ es inyectiva.

Answer 1

Algunos apuntes, que espero que te ayuden a arreglar las cosas.

1) Si $x,y\in\ker{\phi}$ entonces $x,y\in G_1$ Así que $x$ y $y$ no puede ser a imagen y semejanza de $\phi$ que es un subconjunto de $G_2$ . Lo que se sabe es que $\phi(x)=\phi(y)=e_{G_2}$ ; así que lo que es $\phi(x\circ y)$ ? No olvides demostrar que el núcleo no está vacío - contiene $e_{G_1}$ .

2) $\phi(g_1)\circ x$ es indefinido, porque $\phi(g_1)$ es un elemento de $G_2$ mientras que $x$ es un elemento de $G_1$ - Siempre hay que tener cuidado de no hacer esto.

3) Para la segunda afirmación (" $\ker{\phi}=\{e_{G_1}\}$ si y sólo si $\phi$ es inyectiva") puede ser útil hacer cada dirección por separado. En primer lugar, si $\phi$ es inyectiva, y $\phi(g)=e_{G_2}$ entonces qué debemos ser capaces de decir sobre $g$ ? (Pista: qué es $\phi(e_{G_1})$ ?). En segundo lugar, suponga $\ker{\phi}=\{e_{G_1}\}$ ; si $\phi(g_1)=\phi(g_2)$ ¿Qué es? $\phi(g_1g_2^{-1})$ ?

Por favor, comente si algo no está claro.