Un operador lineal normal e idempotente debe ser autoadjunto

Question

Llevo bastante tiempo intentando resolver este problema. Todavía no sé si alguna de las vías que he seguido ha servido de algo. Cualquier consejo será muy apreciado.

Pregunta:

Dejemos que $V$ sea un espacio de producto interno de dimensión finita, y sea $E$ sea un operador lineal idempotente en $V$ . Demostrar que si $EE^* = E^*E$ entonces $E$ es autoadjunto.

(Esto es esencialmente el ejercicio 5(a) de la sec. 80 de la p.162 de Paul R. Halmos, Espacios vectoriales de dimensión finita pero Halmos no asumió que la dimensión de $V$ es finito).

Answer 1

Si $E$ es normal, $\| E x \| = \|E^* x \|$ para todos $x$ . De la misma manera, $I-E$ es normal, así que $\|(I-E) x\| = \|(I - E^*)x \|$ . En particular, dado que $(I-E)Ex = 0$ , $(I-E^*)Ex = 0$ es decir $E^* E = E$ y, de forma similar, ya que $E(I-E)x = 0$ , $E^*(I-E)x = 0$ es decir $E^* E = E^* $ . Pero esos juntos dicen $E = E^*$ .

Answer 2

Actualización. Como $E$ es normal e idempotente, el cálculo directo muestra que $$ (E-E^\ast E)^\ast(E-E^\ast E)=0=(E^\ast-E^\ast E)^\ast(E^\ast-E^\ast E).\tag{1} $$ Obsérvese que para cualquier operador lineal $A$ , si $A^\ast A=0$ entonces $\langle Ax,Ax\rangle=\langle x,A^\ast Ax\rangle=0$ para cada vector $x$ para que $A=0$ . Se deduce de $(1)$ que $E-E^\ast E=0=E^\ast-E^\ast E$ . Por lo tanto, $E=E^\ast E=E^\ast$ .

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**(Antigua respuesta:)**

La igualdad $EE^\ast=E^\ast E$ implica que $(E+E^\ast-I)(E-E^\ast)=0$ . Si puede demostrar que $E+E^\ast-I$ es invertible, has terminado.

Supongamos que $(E+E^\ast -I)v=0$ . Multiplicar por la izquierda la ecuación por $E^\ast$ obtenemos $E^\ast Ev=0$ . Por lo tanto, demuestre que $Ev=0$ . Desde $EE^\ast=E^\ast E$ De la misma manera, demuestre que $E^\ast v=0$ . Ahora, considere la ecuación $(E+E^\ast -I)v=0$ de nuevo y mostrar que $E+E^\ast -I$ es invertible.