Estado del momento de una partícula

Question

¿Por qué el estado de momento de una partícula en mecánica cuántica viene dado por la transformada de Fourier de su estado de posición? Por ejemplo, en una dimensión dada por

$$\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \mathrm dx \, e^{-i p x/\hbar} \psi(x).$$

Answer 1

Empecemos desde cero. Tome las posiciones eigenvectores, $\left|x\right>$ . Son tales que $X\left|x\right> = x\left|x\right>$ . Ahora, toma un ket general para una función de onda, $\left|\psi\right>$ . Si queremos saber $\psi(x)$ , es decir, la función de onda en la representación de posición, entonces tomamos el siguiente producto escalar : $\left<x\right|\left|\psi\right> = \psi(x)$ . De hecho, esto es cierto ya que la representación de la posición de $\left|x\right>$ es $\delta(x)$ (Puedo mostrarlo si es necesario). De esto también se deduce que $\int\left|x\right>\left<x\right|dx = I$ donde I es la identidad (llamada relación de completitud).

Volvamos a la pregunta. Análogamente, tenemos que $\psi(p) = \left<p\right|\left|\psi\right> =\int \left<p\right|\left|x\right>\left<x\right|\left|\psi\right>dx$ utilizando la relación de integridad. Todo lo que tenemos que hacer ahora es determinar $\left<p\right|\left|x\right>$ . Esto se hace mediante la ecuación definitoria de $\left|p\right>$ que simplemente es $P\left|p\right> = p\left|p\right>$ .

Tomando el producto escalar con $\left<x\right|$ y utilizando la representación de posicióng de $P = -i\hbar\nabla$ obtenemos la siguiente ecuación :

$$ -i\hbar\frac{d p(x)}{d x} = pp(x)$$

Dónde $p(x) = \left<x\right|\left|p\right>$

Resolviendo esta ecuación se encuentra $p(x) = Ae^{ip/\hbar x}$

Finalmente, utilizando las propiedades de hermiticidad del producto escalar y volviendo a introducir nuestra integral inicial obtenemos :

$$\psi(p) = \int Ae^{-ip/\hbar x}\psi(x)$$

La constante $A$ se toma como $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ arbitrariamente para obtener la forma habitual de la transformada de Fourier. Esto se debe a que, como la representación de la posición de la $p$ Los vectores propios no pueden ser normalizados, esta constante $A$ es arbitraria.

Answer 2

En general, una transformada de Fourier toma funciones sobre un grupo $G$ o un espacio $X$ en el que $G$ actos, y los descompone en términos de caracteres del grupo, como $\chi : G \to S^1$ y los coeficientes de la descomposición se codifican en la función transformada en el dual de Pontryagin $\hat G$ de $G$ .

Ahora para el espacio euclidiano, $\mathbb R^n$ podemos identificar el dual Pontryagin $\hat{ \mathbb{R}}^n$ con ella misma. En particular, es un grupo localmente compacto con $\mathbb R^n$ identificando $\xi \in \mathbb R^n$ como la frecuencia, para la cual $x \to \xi \cdot x.$ El dual de Pontryagin en general es el grupo de todos los caracteres de $G$ .

En general, la transformada de Fourier para $f \in L^1(G)$ está dada por,

$$\hat f (\chi) = \int_G f(x)\bar{\chi(x)} d \mu(x)$$

donde $d\mu$ es la medida de Haar. Especializando ahora al caso mencionado, se tiene,

$$\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb R^n} f(x)e^{-2\pi i \xi \cdot x} dx.$$

Si interpretamos el dominio de $f$ como tiempo, entonces el dominio correspondiente de la transformación es en el espacio de la frecuencia. Para la posición, se tiene el espacio del momento. Que podemos tomar $\psi(x)$ a $\hat \psi(p)$ no es exclusivo de la función de onda, sino que puede realizarse sobre cualquier función adecuada.

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Otra comprobación: en el exponencial se tiene $e^{-i\omega t}$ y así se puede deducir $\omega$ tiene dimensiones de frecuencia para que el argumento sea adimensional. Ahora, para la posición, se obtendría algo como $[L]^{-1}$ que es en realidad el vector de onda $k$ pero $p = \hbar k$ por lo que podemos expresar la transformada de Fourier en términos del vector onda o del momento.

También trabajamos normalmente en unidades naturales en las que $\hbar = 1$ por lo que utilizamos cualquiera de los dos indistintamente.

Answer 3

En primer lugar, necesitamos algunas definiciones de los conceptos que trataremos: las representaciones de posición y de momento. Los operadores de posición y de momento satisfacen la relación de conmutación: \begin{equation} [X,P]=i\hbar \end{equation}

Una representación de esta álgebra sobre el espacio de Hilbert $L^2\left(\mathbb{R}\right)$ la representación de la posición, viene dada por $(Xf)(x)=x\,f(x)$ y $Pf=-i\hbar f'$ . La representación del momento es similar, sólo hay que intercambiar $X$ y $P$ (y cambiando un signo), para obtener $(Pf)(p)=p\,f(p)$ y $Xf=i\hbar f'$ .

¿Por qué utilizamos estas definiciones? Bueno, tiene sentido llamar a representación de la posición la que el operador de posición actúa como multiplicación por el argumento de la función, porque entonces ese argumento se interpreta como posición. Lo mismo ocurre para la representación del momento. En ese caso, el argumento de las funciones puede interpretarse como el momento, ya que $P$ actúa como multiplicación por ella.

Ahora podemos abordar la cuestión. La afirmación es que la transformada de Fourier lleva funciones en la representación de posición a la representación de momento. Para demostrarlo, dejemos que $f$ sea una función en la representación de la posición y observe que \begin{align} (X\hat{f})(p) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx \,x\,e^{-ipx/\hbar}f(x) = \frac{i\hbar}{\sqrt{2\pi\hbar}}\frac{d}{dp}\int dx\,e^{-i px/\hbar}f(x) =i\hbar\,\hat{f}'(p) \\ (P\hat{f})(p) &= \frac{-i\hbar}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx e^{-ipx/\hbar}f'(x) \overset{\text{by parts}}= \frac{p}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx e^{-ipx/\hbar}f(x) =p\,\hat{f}(p), \end{align} donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier.