Discriminante de Polinomios (Teoría de Galois)

Question

Así que estoy leyendo Dummit y Foote y definen el discriminante de $x_{1},...,x_{n}$ por $$D= \prod_ {i<j}(x_{i}-x_{j})^2$$ y el discriminante de un polinomio para ser el discriminante de las raíces.

Dicen que una permutación $ \sigma \in S_{n}$ está en el grupo de alternancia $A_{n}$ iff $ \sigma $ fija el producto $ \sqrt {D}$ .

De acuerdo con el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, si $F$ tiene caracteres diferentes a los de 2 entonces $ \sqrt {D}$ genera el campo fijo de $A_{n}$ y genera una extensión cuadrática de $K$ .

Estoy confundido en cuanto a las características $2$ entra en esto.

Answer 1

Cuando el campo $F$ está teniendo $2$ para la característica

$$\sqrt{D} = \prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)$$ se conserva en todas las permutaciones como $-1=+1$ .