Demostrar que $M_{nm}(A \otimes B) \cong M_{n}(A) \otimes M_m(B)$

Question

Demostrar que $M_{nm}(A \otimes B) \cong M_{n}(A) \otimes M_m(B)$

Hay una pregunta similar flotando por ahí, pero simplemente me preguntaba si el resultado se mantiene de la misma manera cuando dejamos que A y B sean campos, anillos, álgebras K, etc.

Answer 1

Dejemos que $\varphi : M_n(A) \times M_m (B) \to M_{mn}(A \otimes B), \ \ \varphi : (a_{ij}) \times (b_{ij}) \mapsto $ dejar $m \gt n$ wlog, y luego rellenar el $mn \times mn$ matriz con $m^2$ copias del $n^2$ matriz $(a_{ij})$ . En copia $(i,j)$ puntee cada entrada con $\otimes b_{ij}$ . Así, por ejemplo $\begin{pmatrix} a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b & c \\ d & e \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a \otimes b & a \otimes c \\ a \otimes d & a \otimes e\end{pmatrix}$ . A continuación, compruebe que $\varphi$ es un $R$ -mapa bilineal.

Dejemos que $M$ ser un derecho $R$ -módulo y $N$ a la izquierda $R$ -y dejar que $L$ ser una izquierda $R$ -módulo. Entonces hay una correspondencia biyectiva entre $R$ -mapas bilineales de $\phi: M\times N \to L$ y $R$ -módulo homs $\Phi : M \otimes_R N \to L$ y para los correspondientes $\phi, \Phi$ tenemos $\Phi = \phi \circ \iota$ para $\iota : M \times N \to M \otimes_R N, \ \ m \times n \mapsto m \otimes n$ lo habitual $R$ -mapa equilibrado en $M \otimes_R N$ .

Por lo tanto, hay una hom $\Phi$ correspondiente a $\varphi$ enviando $M_n(A) \otimes M_n(B) \to M_{mn} (A \otimes B)$ donde el producto tensorial se toma sobre el subcampo común compartido $M \cap N$ o $R$ para $R$ -módulos, $k$ para $k$ -algebras.

Ahora sólo tienes que demostrar que $\Phi$ es inyectiva y biyectiva y que la prueba no depende de la estructura con la que se tome el producto.

Todo lo que se necesita para definir el producto tensorial es un $R$ -estructura de módulo para un anillo $R$ . Para los campos $K, L \supset F$ , el're $F$ -módulos, a $k$ -es una $k$ -módulo. Y así sucesivamente... Así que supongo que el resultado se mantiene para cualquier estructura que su tensor multiplica.

$\varphi$ es suryente. Sea $(c_{ij}) = \begin{pmatrix} \sum_k a_{ij,k} \otimes b_{ij,k} \end{pmatrix} \in M_{mn}( A\otimes B)$ . Es decir, representa cualquier elemento ya que se llena con sumas generales de tensores simples.

Entonces

$$ (c_{ij}) = \sum_{i,j} C_{ij} $$

donde cada $C_{ij} = $ una matriz de ceros excepto la entrada $i,j$ que es igual a la entrada de $(c_{ij})$ . A continuación, descomponga aún más $C_{ij}$ en $$ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n_{ij}} B_{ij,k} $$

donde $B_{ij,k} = $ una matriz de ceros excepto la entrada $i,j$ que es igual a $a_{ij,k} \otimes b_{ij,k}$ . Entonces, por la bilinealidad de $\varphi$ hemos demostrado que este tensor es la imagen de una suma de pares de matrices en $M_n(A) \times M_m(B)$ .