Si$450^\circ<\alpha<540^\circ$ y$\cot\alpha=-\frac{7}{24},$ calculan$\cos\frac{\alpha}{2}$. ¿Por qué mi solución es incorrecta?

Question

El problema dice:

Si$450^\circ<\alpha<540^\circ$ y$\cot\alpha=-\frac{7}{24},$ calculan$\cos\frac{\alpha}{2}$

Lo resolví de la siguiente manera:$$\begin{align} -\frac{7}{24}&=-\sqrt{\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}}\\ \frac{49}{576}&=\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}\\ 625\cos2\alpha&=527\\ 2\cos^2\alpha-1&=\frac{527}{625}\\ \cos\alpha&=-\frac{24}{25}, \end{align}$$ therefore, $$\begin{align} \cos\frac{\alpha}{2}&=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{50}}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{10}. \end{align}$ $ Pero no hay tal respuesta:

UNA) $0.6$

B)$\frac{4}{5}$

C)$-\frac{4}{5}$

D)$-0.6$

E)$0.96$

He revisado el proceso de evaluación varias veces. Si bien creo que mi respuesta es correcta y que hay un error en las elecciones, quiero saber de usted.

Answer 1

PS

El signo negativo que falta en el LHS de la línea anterior es su primer error.

Su segundo error es escribir$$\frac {7^2}{24^2}=\frac {1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha} \implies$ Tenemos$ $ .... Si$\implies 7^2(1-\cos \alpha)=24^2(1+\cos \alpha)\implies$ entonces$ $ implica$\implies 7^2- 7^2\cos 2\alpha = 24^2+ 24^2 \cos 2\alpha\implies$

En general, si$ $ entonces la proporción de$\implies 7^2-24^2= (7^2+24^2)\cos 2\alpha =25^2 \cos 2\alpha\implies$ a$ $ es$\implies -527=625\cos 2\alpha .$ a$\cos \frac {\alpha}{2}=\sqrt {\frac {1+\cos \alpha}{2}}\;.$, así que deje$|\cos \frac {\alpha}{2}|=\sqrt { \frac {1+\cos \alpha}{2} }\;.\;$ y$450^o<\alpha<340^o$. Como$225^o<\frac {\alpha}{2}<270^o,$, tenemos$\cos \frac {\alpha}{2}<0.$, así que$\cot x=\frac {a}{b}$ y$\cos^2 x$ y, por lo tanto,$\sin^2 x$ y$a^2$

Entonces, si$b^2$ y$\cos^2 x=a^2y$ entonces$\sin^2 x=b^2y$

Answer 2

Probablemente sea más fácil usar$$\cos^2\alpha = \frac{1}{\sec^2\alpha} = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+\frac{1}{\cot^2\alpha}}$$ to find $ \ cos \ alpha$, this gives $ \ cos \ alpha = \ pm \ frac7 {25}$. The given range for $ \ alpha $ dice cuál de estos se aplica.

Le sugiero que verifique su cálculo de$\cos\alpha$.

Answer 3

Pista :

$$\cot\alpha=\frac{1-\tan^2\frac\alpha2}{2\tan\frac\alpha2}=\frac{1-t^2}{2t}$ $ o

PS

o

PS

Entonces$$t^2+2\cot\alpha\ t-1=0,$ $

Entonces el rango dado de$$t=-\cot\alpha\pm\sqrt{1-\cot^2\alpha}=-\frac34,\frac43.$ te dice que

PS

Answer 4

$$\cot\alpha = -\frac{7}{24} \implies \tan\alpha = -\frac{24}{7}$ $ Desde$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$,$$\sec^2\alpha = 1 + \left(-\frac{24}{7}\right)^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{625}{49} \implies |\sec\alpha| = \frac{25}{7}$ $ Observe ese$450^\circ < \alpha < 540^\circ \implies \cos\alpha < 0$. Por lo tanto,$$\sec\alpha = -\frac{25}{7} \implies \cos\alpha = -\frac{7}{25}$ $ desde$450^\circ < \alpha < 540^\circ$,$225^\circ < \frac{\alpha}{2} < 270^\circ$. Por lo tanto,$\cos(\frac{\alpha}{2}) < 0$. Por lo tanto,$$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$ $

Answer 5

$$\cot x =\frac{-7}{24}=\frac{\cos x}{\sin x}$ $$$\frac{49}{576}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}$ $ Da$$\cos x=\frac{-7}{25}$ $ Y$$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=\frac{3}{5}=0.6 $ $ Por lo tanto ( A ) es correcto

EDITAR:

Después de hablar con expertos, llegué a la conclusión de que$\cos \frac{x}{2} $ es negativo y, por lo tanto, (D) es correcto