¿Por qué el valor de la expectativa de posición para esta función de onda es independiente del parámetro?

Question

Para una tarea problema se nos da la función de onda

$$ \Psi(x) = \frac{N}{x^2 + a^2},\ a > 0 $$

y le preguntó a normalizar. A continuación, vamos a encontrar la expectativa de valor de $x$. Para ello, me normalizó la función de onda

$$ \Psi(x) = \frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt{\pi}(x^2 + a^2)} $$

Luego, después de mis notas calculadas

$$ \int_{-\infty}^\infty \Psi(x)^* \langle x \rangle \Psi(x)\,\mathrm dx $$

Dado que la ecuación de onda se encuentra actualmente en la $x$ base I, a continuación, calculadas

$$ \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt{\pi}(x^2 + a^2)}\right)^* x \left(\frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt{\pi}(x^2 + a^2)}\right)\,\mathrm dx $$

por conectarlo a Wolfram Alpha. A pesar de que esto resulta en una solución de $0$.

Esto no parece correcto. Me siento como la solución debe depender de $a$ en el muy menos. ¿Hay alguna razón por la que este es en realidad independiente de $a$?

Answer 1

Tienes la respuesta correcta! La función de onda es simétrica alrededor de $0$, mientras que el operador $\langle x \rangle = x$ es impar. Así que usted tiene el producto de dos funciones y una función impar en el integrando, lo que resulta en un compuesto impar función. La integración de una extraña función sobre un intervalo simétrico siempre le $0$! La comprobación de la simetría de sus funciones es siempre una buena manera de averiguar si su respuesta tiene sentido con este tipo de problemas.

Edit: quise escribir $\hat{x} = x$, no $\langle x \rangle = x$. La expresión correcta para la expectativa de valor es $\langle x \rangle = \int\psi^*\hat{x}\psi dx$.

Answer 2

Josh respuesta es suficiente. Mientras se usa el final de la expectativa de valor integral en su respuesta, usted también puede buscar en la función de onda. Ya que incluso es, y desde $|\psi|^2$ (también) nos dice que la probabilidad de que la medición de la partícula dentro de la posición $x$ e $x+dx$, sabemos que la partícula "pasa una cantidad igual de tiempo" en el positivo y negativo de la $x$. Así que debe ser que la media de la posición es $0$.

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Yo también quería abordar algunos de su notación y comprensión de la misma.

Parece que usted está familiarizado con las bases. La expectativa de valor de la posición del operador puede ser escrito sin especificar ninguna base: $$\langle X\rangle=\langle\psi|X|\psi\rangle$$

Desde que nos da la función de onda en la posición de base $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$, sentido de trabajo en la posición de base.

Por lo tanto, se puede utilizar la identidad de $\int|x\rangle\langle x|dx=1$ escribir nuestra expectativa de valor como $$\langle X\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\langle\psi|x\rangle\langle x|X|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle dxdx'$$

Entonces, sabiendo que $X$ en su propio eigenbasis es $\langle x|X|x'\rangle=x'\delta(x'-x)$, la integral se convierte en $$\langle X\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)x\psi(x)dx$$

Esta es la integral desea. Usted no quiere que su expectativa de valor dentro de la integral (y también es necesario especificar la variable que se está integrando más). De lo contrario, usted tiene un integrante que no es muy útil:

$$\langle X\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\langle X\rangle\psi(x)dx=\langle X\rangle\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\psi(x)dx=\langle X\rangle$$