Prueba $\lim_{x \rightarrow 3}x^2=9$ via epsilon delta

Question

Demostrar $$\lim_{x \rightarrow 3}x^2=9$$ a través de delta epsilon

Esto es lo que tengo hasta ahora

$|x^2-9|<\epsilon$ e $0<|x-3|<\delta$

Deje $z=x-3$.

$|(z+3)^2-9|<\epsilon$

$\delta(\delta+6)<\epsilon$ , y dejamos $\delta \leq 1$

así entonces tenemos $\delta<\frac{\epsilon}{7}$

Luego cuando intento hacer la prueba real tengo el siguiente-

$|7x-21|<\epsilon$ que me pone nada.

Answer 1

Que <span class="math-container">$\epsilon>0$</span>. Que <span class="math-container">$\delta=\min{1,\frac{\epsilon}{7}}$</span> . Después de <span class="math-container">$-1<x-3> sigue que <span class="math-container">$5\leq x+3\leq 7$</span> lo <span class="math-container">$|x+3|\leq 7$</span>. Entonces <span class="math-container">$|x-3| y tenemos <span class="math-container">\begin{equation}|x^2-9|=|(x-3)(x+3)|\leq |x-3||x+3|</span></span></x-3></span>