¿Por qué la gente está más interesada en la hipótesis de Riemann que en la conjetura de Goldbach?

Question

Uno de mis amigos, profesor de matemáticas, me dijo que casi todos sus colegas (en el departamento de matemáticas) habían intentado demostrar la Hipótesis de Riemann en algún momento de su vida (quizás en secreto).

Pero no muchos colegas habían intentado trabajar en Conjetura de Goldbach . ¿Por qué?

Es porque:

A: ¿La hipótesis de Riemann es más importante que la conjetura de Goldbach? B: ¿La hipótesis de Riemann es más profunda que la conjetura de Goldbach? C: La gente no tiene mucha idea de por dónde empezar con la conjetura de Goldbach. La gente tiene muchos ángulos diferentes para probar la hipótesis de Riemann.

¿Qué le parece? ¿Alguna otra razón?

Answer 1

La razón predominante del interés por la Hipótesis de Riemann es por su importancia para otros resultados matemáticos .

Por ejemplo, demostrar la Hipótesis de Riemann nos diría inmediatamente mucho sobre la distribución de los números primos. Se sabe que es equivalente a la siguiente afirmación: $$\left|\pi(x) - \int_0^x \frac 1{\log t}dt\right|<\frac1{8\pi}\sqrt x\log x$$

donde $\pi(x)$ es el número de primos menores o iguales a $x$ . En otras palabras, si la Hipótesis de Riemann es cierta, entonces podemos estimar el número de primos menores que $x$ por $\int_0^x \frac 1{\log t}dt$ con un margen de error comparativamente pequeño.

Hay muchos resultados matemáticos que empiezan con algo parecido a "Suponiendo la hipótesis de Riemann...". Probarla demostraría todos estos resultados. Una refutación haría que grandes cantidades de matemáticas se vinieran abajo.

En resumen, la Hipótesis de Riemann es un peldaño en el camino de las matemáticas, y demostrarla nos permitiría entrar en un nuevo territorio.

Por otro lado, aunque es interesante y hermosa, la conjetura de Goldbach no es importante en este sentido.

Answer 2

Hay un sinfín de variantes de conjeturas estadísticas que se pueden hacer sobre los números primos. La conjetura de Goldbach (al menos en mi opinión) no llega al corazón de lo que hace que los números primos funcionen. De hecho, hay muchas justificaciones heurísticas diferentes de la misma que se basan únicamente en el crecimiento de los primos. Así que, en cierto modo, Goldbach debería ser espiritualmente "corolario" de hechos más fundamentales que hacen afirmaciones más directas sobre la distribución de los primos.

Además, demostrarlo parece ser una cuestión de teoría del tamiz, que (también en mi opinión) es bastante estrecha y no tan grande o hermosa como todo lo relacionado con la Hipótesis. El propio enunciado de la Hipótesis utiliza la continuación analítica, un fenómeno muy misterioso (que se utiliza en un montón de sumas divergentes zeta-regularizadas geniales). Con algunas técnicas de análisis complejo, los ceros pueden considerarse como la "música de los primos" (las frecuencias armónicas de la función de recuento de primos), las partes imaginarias contribuyen con pequeñas oscilaciones mientras que las partes reales controlan la tasa de crecimiento a largo plazo. La hipótesis se generaliza a otros $L$ -funciones, que son básicamente las funciones generadoras de la teoría de números, por lo que son bastante importantes. De hecho, la Hipótesis de los campos de funciones se ocupa de una geometría algebraica realmente hermosa. En cuanto a la estadística, $\zeta$ 's no triviales se comportan de manera que nos hacen creer que la teoría cuántica o los cuasicristales pueden ser relevantes, ambos supercool. Así que, considerando todo, Goldbach no tiene nada que envidiar a Riemann.