Justificación de un número real a una potencia compleja

Question

He buscado exhaustivamente en línea y encontró que todo el mundo estaría de acuerdo con la siguiente:

$2^i = e^{\log{2^i}} = e^{i*\log{2}}$. Acerca de la segunda igualdad de (tomar la $i$ de la $\log$), parece natural. Pero no puedo justificar esto a mí mismo.

Entiendo que, $\log(z1*z2) = \log(z1)+\log(z2)$, y por lo tanto, si tengo algo así como el $\log(i^2)$, entonces, es $\log(i*i) = \log(i) + \log(i) = 2\log(i)$, pero esto es porque tenemos un exponente racional. ¿Cómo puedo hacer algo similar para $2^i$? O hay alguna otra manera de justificar el paso tirando de la $i$ de la $log$?

Muchas gracias!

Answer 1

¿Por qué es $\log(2^i)=i\log(2)? $

Deje $x= \log(2^i)$

Entonces, por definición, $e^x=2^i$ pero de hecho este es un conjunto infinito de números en el plano complejo con esta propiedad y $y=i\log(2)$ es uno de esos elementos que tiene esta propiedad, ya que el $e^y=e^{i \log(2)}=(e^{\log(2)})^{i}=2^i$

Como se comenta más abajo y en la respuesta por parte de Santos: tendremos que decidir exactamente cómo extender $\log$ a del plano complejo para hacer cualquier progreso aquí.

Answer 2

Por definición, si $a>0$, a continuación, $a^z=e^{z\times\log a}$. En particular, $2^i=e^{i\times\log2}$.

Por supuesto, aquí se $\log a$ es la única y real logaritmo de $a$. En general, un no-cero número complejo tiene una infinidad de logaritmos, y por lo tanto no debería mencionar $\log z$ a menos que se indique claramente que el logaritmo que tiene en mente. En particular, la igualdad de $\log(z_1z_2)=\log(z_1)+\log(z_2)$ no tienen sentido en general.