Comprender la importancia del teorema de incompletitud de Godel

Question

He estado leyendo el capítulo 42 de la "Introducción a la Metamatemática" de Kleene, donde se demuestra el siguiente resultado:

(Forma de Rosser del teorema de Godel) Si el sistema formal de la teoría de los números es simplemente consistente entonces hay una fórmula $A$ de tal manera que ni $\vdash A$ ni $\vdash \lnot A$ .

Sé que los teoremas de Godel son famosos por su influencia en las matemáticas. Me cuesta entender qué es lo que influye aquí.

Consideremos el cálculo proposicional puro. En él, las únicas fórmulas demostrables son las que son idénticamente verdaderas (bajo cierto esquema de evaluación utilizando tablas de verdad). Consideremos una fórmula que no es idénticamente verdadera ni idénticamente falsa (llamémosla $B$ ). Entonces, en el cálculo proposicional puro ni $\vdash B$ ni $\vdash \lnot B$ . De alguna manera, no creemos que este resultado sea influyente. ¿Cuál es el razonamiento aquí?

Agradecería sus comentarios al respecto. Lo siento si esta pregunta ya se ha hecho, pero no he podido encontrarla.

Answer 1

Por supuesto, no es de extrañar que hay teorías incompletas. Lo sorprendente es que cada la teoría formal de los números es incompleta - o mejor dicho:

Cada teoría que (1) es "suficientemente fuerte" (= contiene un conjunto muy pequeño de axiomas sobre aritmética básica ), (2) es consistente, y (3) es "razonablemente simple" (= recursivamente axiomatizable: hay un algoritmo por decir lo que es y qué no es , un axioma del sistema) está incompleto.

Cada hipótesis es necesaria. Hay muchas teorías naturales e interesantes que son completas, consistentes y razonablemente sencillas, pero no nos permiten "interpretar la aritmética". Asimismo, y más seriamente, esto implica que, por ejemplo la verdadera teoría de la aritmética - es decir, el conjunto de todas las afirmaciones verdaderas sobre los números naturales que pueden expresarse mediante $+,\times$ operaciones booleanas, cuantificadores, variables y paréntesis. no es computable (obviamente es completo y consistente y contiene aritmética básica). Esto puede no parecer tan sorprendente ahora, pero significa que hay "afirmaciones simples de la teoría de los números" que no podemos esperar demostrar en cualquier sistema de axiomas que estemos utilizando. Dicho de otro modo: sea cual sea el sistema de axiomas que decidamos utilizar para estudiar la aritmética, habrá algunas afirmaciones muy concretas que nunca podremos demostrar ni refutar.

Ahora bien, creo que el teorema de la incompletitud es mucho menos sorprendente en la luz moderna de los ordenadores donde tenemos un mejor sentido de lo que la "aritmética básica" puede realmente hacer en términos de complejidad lógica; de hecho, creo que otros teoremas básicos son mucho más sorprendentes . Pero no cabe duda de que es enormemente sorprendente en la medida en que adoptamos el principio "todos los problemas matemáticos pueden resolverse satisfactoriamente" de forma demasiado ingenua (tenemos que ser muy flexible sobre lo que significa "resuelto satisfactoriamente" para no arruinarse por Godel), y esto era algo de lo que muchos matemáticos eran culpables de vez en cuando (por decirlo suavemente).