Cálculo de la u-sustitución: Elegir entre $\frac{dx}{du}$ y $\frac{du}{dx}$

Question

He buscado y no he encontrado ninguna respuesta a esto. Probablemente es una pregunta tonta pero que me ha estado preocupando.

Digamos que tengo una integración: $$\int \frac{1}{3x+2}$$

Parece que la forma correcta de resolverlo es eligiendo $u=3x+2$ . Así que

$$\begin{align}u &= 3x + 2 \\ \frac{du}{dx} &= 3 \\ dx &= \frac{1}{3}du \end{align}$$

y así sucesivamente la respuesta se reduce a $\frac{1}{3}\ln(3x+2)$

Mi pregunta es: ¿por qué tengo que elegirlo específicamente de esta manera? $ \frac{du}{dx} = 3$ ? Si elijo $ \frac{dx}{du} = 3$ Me sale $dx=3du$ pero me da una respuesta diferente a la anterior.

¿Cómo elijo cuál utilizo como denominador y nominador para mi sustitución de la u?

Gracias.

Answer 1

Queremos simplificar el denominador y poner $u=u(x)=3x+2$ . Aquí consideramos $u=u(x)$ siendo una función en $x$ . \begin{align*} u&=3x+2\\ \color{blue}{\frac{du}{dx}}=\frac{d}{dx}u(x)&=\frac{d}{dx}(3x+2)\color{blue}{=3} \end{align*} Por otro lado, si consideramos $x=x(u)$ como función en $u$ tenemos \begin{align*} x&=\frac{1}{3}(u-2)\\ \color{blue}{\frac{dx}{du}}=\frac{d}{du}x(u)&=\frac{d}{du}\left(\frac{1}{3}u-\frac{2}{3}\right)\color{blue}{=\frac{1}{3}} \end{align*} Por lo tanto, no es razonable establecer $\frac{dx}{du}=3$ .

Nota: Es aconsejable escribir $\int\frac{\color{blue}{dx}}{3x+2}$ que además de otros aspectos indica que $x$ es la variable de integración.

Answer 2

Se equivoca al decir: $\frac{dx}{du} = 3$

Esto no se "elige".

Esto es un resultado directo de lo que es su u-sub.

Si dejamos que $u = 3x+2$ y diferenciando ambos lados, obtenemos:

$du=3 dx$

Si quieres tener $\frac{dx}{du}$ siguiendo la ecuación, esto debe ser igual a $1/3$ , no $3$ .