Que $G$ sea un grupo finito de la matriz de $GL_2(Q)$ tal que cada matriz $A\in G$ tiene entradas entero. Prueba $A^{12}= I$ cada $A$.

Question

Deje $G$ ser finito, la matriz del grupo en $GL_2(Q)$ (general lineal grupo de $2$ por $2$ matrices con rational entradas) de tal forma que cada matriz $A\in G$ ha entero entradas. Demostrar que $A^{12} = I$ por cada $A \in G$.

Intento :

Tenemos que $A^k = I$ naturales $k$ desde $G$ es finito. Entonces, el polinomio mínimo de a$A$ divide $x^{k} - 1$. También, el polinomio característico es de la forma $x^2 + ax + b$ para algunos $a,b$. Por lo tanto, la minimización de la polinomio tiene una raíz de la forma $x-c$ donde $c$ es un número entero, o es el polinomio característico de sí mismo. En el primer caso, obtenemos $A = I$ o $A =-I$ desde $1,-1$ son el único entero raíces de la unidad. Por lo tanto $A^2 = I$.

En el segundo caso, tenemos que, o bien las raíces del polinomio característico son $1,-1$ , en cuyo caso obtenemos $x^2 - 1$, lo $A^2 = I$ nuevo. De lo contrario, tenemos un complejo de la raíz de la unidad y del conjugado. Esto nos da $b = 1$ ya que es el producto de estas raíces, y $a$ es $2 *$ la parte real. Por lo tanto tenemos $A^2 + aA + I = 0 $ lo $A(A + aI) = -I$. ¿Cómo puedo usar esto para mostrar $A^{12} = I$?

Answer 1

También sabemos que $a$ es un número entero. Supongamos que la raíz de la unidad $\omega$ es una raíz de $x^2 + ax + b$. Entonces sabemos que $2 \operatorname{Re}(\omega) = a$. Pero tenemos que $-1 \leq \operatorname{Re}(\omega) \leq 1$, y así tenemos que $-2 \leq a \leq 2$.

Sólo sabemos considerar todos los casos posibles.

Si $a = \pm 2$, entonces tenemos que $\omega = \pm 1$, que ya han sido tratados con.

Si $a = 0$, entonces tenemos que $\omega = i$, que es un cuarto de la raíz de la unidad. Tenga en cuenta que no tenemos que el polinomio mínimo divide $x^6 - 1$, pero sí divide $x^{12} - 1$.

Si $a = -1$, entonces el polinomio característico es $x^2 - x + 1$, e $\omega$ es un sexto de la raíz de la unidad. (Tenemos que $x^2 - x + 1 \mid x^3 + 1 \mid x^6 - 1$.)

Si $a = 1$, entonces el polinomio característico es $x^2 + x + 1$, e $\omega$ es un tercio de la raíz de la unidad.

Aviso anterior que si el polinomio mínimo es $x^2 + 1$, entonces no tenemos que $A^6 = 1$. Este hecho puede ocurrir. Considerar, por ejemplo, la matriz de $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Por lo tanto el problema como se encuentra actualmente, no es cierto, pero su versión original antes de editarlo era correcta. El exponente no necesita ser $12$.