¿Colección de bolas abiertas, centrado en el mismo punto, en la forma de un subconjunto denso una base para el conjunto que contiene?

Question

Ni siquiera estoy convencido de que esto es cierto, y estoy esperando que alguien me puede ayudar a ver por qué es cierto.

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Considere la posibilidad de un espacio métrico $F$ y un conjunto $E$ que es denso en $F$. Mostrar que el conjunto de todos los abiertos bolas en E, centrado en $e \in E$ y racional de los radios, decir $\{B(e, r_i)\}$, son una base para $F$.

Para mostrar que $\{B(e, r_i)\}$ es una base para $F$, que había necesidad de mostrar que para cualquier conjunto abierto $T \subset F$ elemento $t \in T$, existe una bola de $B(e, r_t) \in \{B(e, r_i)\}$ tales que se cumple lo siguiente:

$$t \in B(e, r_t) \subset T$$

Pero, no llego incluso a creer que esto es cierto. Si todas las bolas en $\{B(e, r_i)\}$ debe estar centrada en un punto fijo $e$, entonces ¿cómo puede uno de ellos siempre estar contenida en una arbitraria, abrir subconjunto de $F$? La imagen de abajo es el propósito de ilustrar mi confusión.

Answer 1

La afirmación correcta es: si $E$ es denso en $F$, entonces el conjunto

$$\mathcal{B} = \{B(x,r): x \in E, r \in \mathbb{Q}, r > 0\}$$ is a base for $F$.

De modo que los radios no son un punto fijo, sino que son miembros de $E$ en general. Por lo que se centrarán en algunos $e \in E$..

Ver la implicación 7 -> 1 en esta respuesta para los detalles de la prueba en sí.

Answer 2

Un mínimo de contraejemplo. Tome $E = F = \{a,b\}$ equipado con la métrica discreta: $$ d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\ 1 & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ La topología definida por $x = y$ es la topología discreta. Sin embargo, si se toma sólo una $x \not= y$, sólo dos bolas, $d$ e $e \in E$ y estos dos bolas no forman una base de la topología discreta.

Dicho esto, estoy totalmente de suscribirse a @drhab comentario: yo entiendo que la declaración como "para algunos $\{e\}$".

Answer 3

Estás en lo correcto! La declaración, como escribir, es falsa.

Cada espacio métrico es Hausdorff. Por lo tanto, para $e$ y cualquier otro punto de $p$, existen abiertos disjuntos conjuntos de $E$ e $P$ tal que $e \in E, p \in P$. En particular, $e \not \in P$. Sin embargo, cualquier unión de bloques abiertos, todo lo que contenga $e$, contiene $e$.

Por lo tanto P no es la unión de bloques abiertos que contengan $e$, por lo que alrededor de las bolas $e$ no son una base para el espacio métrico (que contengan al menos 2 puntos).