Es $f$ ¿continuo o no?

Question

Dejemos que $f:\Bbb Q\cap[0,1]\to[0,1]$ sea dada por

$$f(x) =\begin{cases} 1,&\text{if }x>\frac{\sqrt2}2\\\\ 0,&\text{if }x<\frac{\sqrt2}2\;. \end{cases}$$

Es $f$ ¿constante o no?

Creo que no es continuo.

¿Tengo razón o me equivoco?

Answer 1

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $[0,1]$ . Ahora consideramos $4$ casos.

Si $U$ no contiene $0$ ni $1$ entonces $f^{-1}(U)=\emptyset$ .

Si $U$ contiene $0$ pero no $1$ entonces $f^{-1}(U)=\mathbb{Q}\cap\left[0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Si $U$ contiene $1$ pero no $0$ entonces $f^{-1}(U)=\mathbb{Q}\cap\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$ .

Si $U$ contiene tanto $0$ y $1$ entonces $f^{-1}(U)=\mathbb{Q}\cap[0,1]$ .

En todos los casos, $f^{-1}(U)$ está abierto en $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ y por lo tanto $f$ es continua.

Answer 2

Intento:

$D=\mathbb{Q} \cap ([0,2/2) \cup (2/2,1])$ .

1) $0 \le x _0 \lt 2/2$ racional.

Dejemos que $\delta \lt \min ( (2/2 -x_0), x_0)$ .

Para $\epsilon >0$ :

$|x-x_0| \lt \delta$ implica

$|f(x)-f(x_0)|=0 \lt \epsilon$ .

2)Que $2/2 <x_0 \le 1$ .

Proceda de forma similar a la del punto 1).

Por tanto, f es continua en $D.$

Answer 3

Utilizamos el $\epsilon - \delta$ método para mostrar la continuidad.

Dado $x \in \mathbb{Q}\cap[0,1]$ o bien $x > \frac{\sqrt2}{2}$ o $x <\frac{\sqrt2}{2}$ .

Para comprobar la continuidad en un punto c del dominio dado:

Así se da, $\epsilon > 0$ , si $c > \frac{\sqrt2}{2}$ Elige tu $\delta = \frac{1}{2}min\{1-c,c - \frac{\sqrt2}{2}\}$ . Entonces $|f(x)-f(c)| = 0 < \epsilon$ , $\forall x \in B_{\delta}(c)$ .

Si $c < \frac{\sqrt2}{2}$ Elige tu $\delta = \frac{1}{2}min\{c, \frac{\sqrt2}{2} -c\}$ . Entonces $|f(x)-f(c)| = 0 < \epsilon$ , $\forall x \in B_{\delta}(c)$ .