Aquí, traté de escribir la respuesta lo más explícito posible. De hecho, Noé Schweber ya se ha mencionado Lusin el ejemplo de analítica no Borel establecido en el borrado de respuesta. También, Gio67 menciona el Descriptivo de la Teoría de conjuntos de notas. Por lo tanto, la respuesta es que ya existe en Gio67 la respuesta. Traté de explicar las partes no cubiertas por las respuestas a esas preguntas.
Lema
El conjunto $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ de las secuencias de números naturales es homeomórficos para el conjunto de los números irracionales $I$ en $[0,1]$.
Esto es por la continuación de la frantion expansión de los números irracionales.
Definición
Denotar por $E$ el conjunto de los números irracionales $\alpha\in [0,1]$ con la continuación de la fracción de expansión $[0;a_1,a_2,a_3\ldots]$ tales que existe una larga $\{n_k\}\subseteq \mathbb{N}$con
$$a_{n_k}|a_{n_{k+1}} \ \mathrm{for} \ k\geq 1. $$
Teorema de
Hay un surjective función continua de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ a $E$.
Prueba.
Deje $\{x_n\}\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$. La construcción de un aumento de la subsequence $\{n_k\}$ mediante $\{x_{3k+1}\}$ como sigue.
\begin{align*}
n_1&=x_1,\\
n_{k+1}&=n_k+x_{3k+1} \ \mathrm{for}\ k\geq 1.
\end{align*}
A continuación, colocamos los números de $\{x_{3k+2}\}$ , de la siguiente manera.
\begin{align*}
a_{n_1}&=x_2,\\
a_{n_{k+1}}&=a_{n_k}x_{3k+2}\ \mathrm{for}\ k\geq 1.
\end{align*}
Enumerar los números restantes $\mathbb{N}-\{n_k\}=\{m_k\}$ , en orden creciente. A continuación, utilice $\{x_{3k}\}$ a llenar estos cocientes parciales.
$$
a_{m_k}=x_{3k}\ \mathrm{para}\ k\geq 1.
$$
A continuación, defina $f(\{x_n\})=[0;a_1,a_2,a_3,\ldots]$.
Ahora, tenemos una respuesta a la pregunta.
Hay un $G_{\delta}$ subconjunto $A$ de $[0,1]$ que no es una función continua $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ con $f(A)=E$.
Prueba.
Considere la siguiente composición.
$$
g:I\rightarrow \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\rightarrow E.
$$
A continuación, $G=\mathrm{Graph}(g)=\{(x,g(x))|x\in I\}$ forma un subconjunto cerrado de un $G_{\delta}$ establecer $I\times [0,1]$. A continuación, $G$ sí es una $G_{\delta}$ subconjunto de $[0,1]^2$. Luego de la proyección de $\pi_2$ en el segundo coordinar los rendimientos $\pi_2(G)=E$.
Deje $\Phi:[0,1]\rightarrow [0,1]^2$ ser el continuo espacio-llenado de la curva. Luego tomar la $G_{\delta}$ establecer $A=\Phi^{-1}(G)\subset [0,1]$. Esto le da a $f(A)=E$ donde $f=\pi_2\circ \Phi$.
