Convergencia de la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{1}^{+\infty}e^{-x^n}\,dx$

Question

Determinar si la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n$ convergen, donde

$$\alpha_n=\int\limits_{1}^{+\infty}e^{-x^n}\,dx.$$

Intento. estoy bastante seguro de que las desigualdades $$e^{-x^n}\leq \frac{1}{1+x^n}$$ y $e^{-x^n}\geq 1-x^n$ serán útiles (el primero creo que más, que da la convergencia para la serie sin embargo, que no estoy seguro de que sea correcta).

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\alpha_n=\int_1^\infty\,\exp\left(-x^n\right)\,\text{d}x=\frac{1}{n}\,\int_1^\infty\,t^{-\left(1-\frac{1}{n}\right)}\,\exp(-t)\,\text{d}t\geq \frac{1}{n}\,\int_1^\infty\,\frac{\exp(-t)}{t}\,\text{d}t\,,$$ al establecer $t:=x^{\frac1n}$ . Por lo tanto, $$\alpha_n\geq \frac{\lambda}{n}\,,\text{ where }\lambda:=\int_1^\infty\,\frac{\exp(-t)}{t}\,\text{d}t=-\text{Ei}(-1)\approx 0.21938\,.$$ Aquí, $\text{Ei}$ es el integral exponencial . (No necesitamos el valor de $\lambda$ , sólo que es un número real positivo finito). Así, la suma $\sum\limits_{n=1}^\infty\,\alpha_n$ diverge debido a la divergencia de la serie armónica.

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Por otro lado, también podemos ver que $$\alpha_n\leq \frac{1}{n}\,\int_1^\infty\,\exp(-t)\,\text{d}t=\frac{1}{n}\,\exp(-1)=\frac{1}{n\,\text{e}}\,.$$ Por lo tanto, $\alpha_n \in \Theta\left(\dfrac{1}{n}\right)$ como $n\to\infty$ con $$-\text{Ei}(-1)\leq \liminf_{n\to\infty}\,n\,\alpha_n\leq \limsup_{n\to\infty}\,n\,\alpha_n\leq \frac{1}{\text{e}}\,.$$ Espero que $\lim\limits_{n\to\infty}\,n\,\alpha_n$ existe, sin embargo, y conjetura que el límite es precisamente $-\text{Ei}(-1)$ .

Dejemos que $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ y, para cada $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ , $f_n:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ sean las funciones definidas por $$f(t):=\frac{\exp(-t)}{t}\text{ and }f_n(t):=t^{-\left(1-\frac{1}{n}\right)}\,\exp(-t)$$ para todos $t\geq 1$ . Entonces, $f_n\to f$ como $n\to \infty$ en el sentido de la palabra, $\left|f_n\right|=f_n\leq g$ , donde $g:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ es una función integrable dada por $$g(x)=\exp(-t)\text{ for all }t\geq 1\,,$$ y $$\begin{align}\int_1^\infty\,\left|f_n(t)-f(t)\right|\,\text{d}t&=\int_1^\infty\,\left(t^{\frac{1}{n}}-1\right)\,\frac{\exp(-t)}{t}\,\text{d}t\\&\leq \int_1^\infty\,\left(t^{\frac{1}{n}}-1\right)\,\exp(-t)\,\text{d}t\\&\leq\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)-\Gamma(1)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0\,,\end{align}$$ donde $\Gamma$ es la función gamma habitual (que es continuo ). Por el Teorema de convergencia dominante , $$\lim_{n\to\infty}\,\int_1^\infty\,f_n(t)\,\text{d}t=\int_1^\infty\,f(t)\,\text{d}t\,.$$ Por lo tanto, $n\,\alpha_n$ converge efectivamente a $-\text{Ei}(-1)$ , como $n$ crece hasta el infinito.

Answer 2

$$\alpha_n =\frac{1}{n}\int_{1}^{+\infty} \frac{z^{1/n}}{z} e^{-z}=\frac{1}{en}\int_{0}^{+\infty}(z+1)^{1/n}\frac{dz}{e^z(z+1)} $$ no es un término sumable, ya que el teorema de convergencia dominante garantiza $$ \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{+\infty}(z+1)^{1/n}\frac{dz}{e^z(z+1)}=\int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{e^z(z+1)}\approx\frac{31}{52} $$ y la serie armónica es divergente.