Cómo ver que el polinomio $4x^2 - 3x^7$ es una permutación de los elementos de $\mathbb{Z}/{11}\mathbb{Z}$

Question

Esto es de Rotman del Grupo de el libro de la Teoría, aunque no tengo la referencia específica a la derecha ahora, como el libro es con un amigo. Él le pregunta a mostrar que $\alpha (x) = 4x^2 - 3x^7$ es una permutación de los elementos de $\mathbb{Z}_{11} = \mathbb{Z} / 11\mathbb{Z}$.

Puedo mostrar esto por la fuerza bruta de cálculo, pero creo que debe haber alguna forma más elegante para mostrar esto. Miré en la página de la Wikipedia sobre la permutación de polinomios, que, basado en una rápida lectura, parece sugerir que no es una pregunta fácil cuando el grado del polinomio es mayor que 2. Asimismo, mencionó el Dickson polinomios, pero a menos que me haya perdido algo, el polinomio en cuestión no es un Dickson polinomio.

Entiendo que no hay un método general para este tipo de pregunta, pero incluso si alguien me puede ayudar a entender este ejemplo en particular mejor, te lo agradecería. En particular, lo que me gustaría saber es:

1. hay una buena manera de construir una permutación polinomio dado algunos cociente de $\mathbb{Z}$ a ser permutados?
2. podemos decir algo acerca de la inversa de la polinomio -- es también un polinomio? Cómo se relaciona con la inicial del polinomio?
3. ¿hay alguna forma más rápida de conectar a ver que este polinomio se debe actuar como una permutación en $\mathbb{Z}_{11}$?
4. ¿qué otros conjuntos de $\mathbb{Z}_{n}$ serán permutados por este polinomio? Cómo podemos ver esto?

Respuestas a cualquiera de estas preguntas, ni explicaciones de por qué no hay respuestas buenas, sería muy apreciada. Gracias!

p.s. este es mi primer post, así que por favor siéntase libre de editar/volver a etiquetar tan necesario como aún no estoy seguro de cómo funciona esto.

Answer 1

Voy a dar una corta prueba de que $\alpha$ es una permutación en $\mathbb Z/11\mathbb Z$. (Todas las operaciones aquí están modulo $11$.) Primero de todos, podemos hacer la siguiente observación:

1. Si $x = 0$,$\alpha (x) = 0$.
2. Si $x \neq 0$ es un residuo cuadrático módulo $11$,$x^5 = 1$. Por lo tanto, $ \alpha(x) = x^2(4-3) = x^2, $ que también es distinto de cero y es un residuo cuadrático.
3. Si $x \neq 0$ es una ecuación cuadrática no-residuo modulo $11$,$x^5 = -1$, por lo que el $\alpha(x) = x^2(4+3) = 7x^2 \equiv -4x^2$, que es también una ecuación cuadrática no residuo. (Voy a soltar el término "cuadrática" a partir de ahora.)

Ahora empezamos con la prueba. Claramente no es suficiente para mostrar que $\alpha$ es inyectiva. Desde $\alpha(x) = 0$ fib $x=0$, podemos limitarnos a $\mathbb Z_{11}^{\ast}$. Supongamos $x, y \in \mathbb Z_{11}^{\ast}$ son tales que $\alpha(x) = \alpha(y)$. Luego de las observaciones (2.) y (3.), de ello se desprende que cualquiera de los dos $x$ $y$ son residuos, o ambos son no residuos. En cualquier caso, tenemos $4 - 3x^5 = 4-3y^5 (\neq 0)$. Por lo tanto, tenemos $$ x^2(4-3x^5) = y^2(4-3y^5) \implica x^2 = y^2 \implica y \in \{ -x, x\}. $$ Si $y = -x$, exactamente uno de $\{ x, y \}$ es un residuo y el otro es un no residuo, que ya hemos descartado lo imposible. Por lo tanto la única posibilidad es que el $x=y$, y hemos terminado. $\ \ \ \ \Box$

---

Creo que la misma idea puede ser utilizado para la fabricación de permutación polinomios para $\mathbb Z/p\mathbb Z$ para cualquier prime $p \equiv 3 \pmod{4}$. (La restricción en $p$ es lo que $-1$ es una ecuación cuadrática no residuo.) Escoge un residuo $c$ y un no-residuo $d$ modulo $p$ (donde $c,d \neq 0$), y definir $$ \alpha(x) = x^2 \left( \frac{c+d}{2} + \frac{c, d}{2} x^{\frac{p-1}{2}} \right) . $$ Por la anterior prueba, este polinomio es una permutación polinomio para $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Esta pregunta es un ejemplo específico de $c = 1$$d=7$.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ es fácil comprobar que el mapa está en (por lo $1$a-$1$) descomponiéndolo de la siguiente manera:

$$\rm\begin{array}{lllll} &\rm on \ \ \ \{n:\ n^5 \equiv 1\}&\rm it's &\rm x\to\quad x^2 &\rm with\ orbit\ \ \ \ (1)\ \ (-2\ \ 4\ \ 5\ \ 3) \\ &\rm on\ \ \{n:\ n^5 \equiv -1\} &\rm it's\ \ &\rm x\to\: -(2\:x)^2 &\rm with\ orbit\ \ (-3)\ (-1\ \:{-}4\ \ 2\:\ {-}5) \end{array}$$ Alternativamente, usted puede verificar la resultante de las $\rm\:res(f(x)-y,\:x^{11}-x)\ =\ y^{11}-y\ $ $\rm\:\mathbb Z/11\:,\:$ cálculo que podría ser roto y simplificado como el anterior. En general se muestra que $\rm\:f(x)\:$ es una permutación polinomio en $\rm\:\mathbb F_q[x]\:$ $\:\iff\:$ $\rm\:y^q-y\ |\ res(f(x)-y,\:x^q-x)\:.$

Answer 3

En 1. Como resulta que cada permutación de $\mathbb{Z}/p$ $p$ prime está dada por un único polinomio de grado menor que p.

Deje $\alpha$ ser un elemento de $\mathbb{Z}/p$ y considerar el siguiente polinomio

$$f_{\alpha}(X) := \displaystyle\prod_{\begin{subarray}{l} \beta\in\mathbb{Z}/p\\ \alpha \neq \beta \end{subarray}} { } (X- \beta) \in \mathbb{Z}/p[X].$$

A continuación, $f_{\alpha}(\beta)$ es igual a cero si $\alpha \neq \beta$ y es distinto de cero en caso contrario. De ello se sigue, como $\mathbb{Z}/p$ es un campo, existe un inverso multiplicativo de a $f_{\alpha}(\alpha).$ Definir

$$\delta_{\alpha}(X) := \frac{f_{\alpha}(X)}{f_{\alpha}(\alpha)}.$$

El polinomio $\delta_{\alpha}$ a continuación, responde a $$\delta_{\alpha}(\beta) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 &\mbox{if } \beta = \alpha \\ 0 &\mbox{otherwise} \end{array} \right.$$

y es de grado $p-1.$

Ahora vamos a $F:\mathbb{Z}/p \rightarrow \mathbb{Z}/p$ ser cualquier función y considerar el polinomio

$$f_{F}(X) = \sum_{\alpha\in\mathbb{Z}/p} F(\alpha)\delta_{\alpha}(X).$$

A continuación, $f_{F}$ tiene un grado menos de $p$ y satisface $f_{F}(\beta) = F(\beta)$ todos los $\beta \in \mathbb{Z}/p.$

De ello se sigue que cualquier elemento $\mathbb{\sigma} \in S_{\mathbb{Z}/p},$ $f_{\sigma}$ es un polinomio de grado menor que $p$ que actúa sobre la $\mathbb{Z}/p$ $\sigma.$

Ahora suponga $g$ es cualquier polinomio de grado menor que $p$ que actúa como $\sigma.$ $g - f_{\sigma}$ actúa en $\mathbb{Z}/p$ como el cero mapa. De ello se desprende que $g - f_{\sigma}$ es igual a $0$ o divisible por $O_p := \displaystyle\prod_{\begin{subarray}{l} \beta\in\mathbb{Z}/p \end{subarray}} { } (X- \beta).$ As the latter cannot occur by degree considerations, it must the case $g - f_{\sigma} = 0$ and we conclude $f_{\sigma}$ is the unique polynomial of degree less than $p$ which acts on $\mathbb{Z}/p$ as $\sigma.$

Además, para cualquier $\sigma\in S_{\mathbb{Z}/p}$

$$\{g\in \mathbb{Z}/p[X]: g(\beta) = \sigma(\beta) \mbox{ for all } \beta\in\mathbb{Z}/11\} = f_{\sigma} + O_p\mathbb{Z}/p[X].$$