Intento demostrar el siguiente hecho:
Si $G$ es un grupo finito, $\chi$ es un carácter complejo irreducible de $G$ y $\{g_1,\cdots,g_r\}$ es un conjunto completo de representantes de clases de conjugación en $G$ entonces $\chi(g_1)+\cdots + \chi(g_r)$ es un no negativo entero.
Es fácil demostrar que la cantidad anterior es entera. Esquema de la prueba: si $|G|=m$ entonces los componentes de la expresión anterior se encuentran en $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ y los automorfismos de este campo corresponden a biyecciones de $G$ a $G$ que permutan las clases de conjugación (mapas $G\rightarrow G$ , $g\mapsto g^l$ donde $(l,|G|)=1$ y correspondientemente hay automorfismos de Galois); por lo tanto la cantidad anterior es invariante bajo todos los automorfismos de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ en $\mathbb{Q}$ y es un número entero algebraico.
No entendí por qué es no negativo? ¿Alguna pista?
