Demostrar que $q^i \equiv 1 \pmod {n!}$ % todo $q, n \in \mathbb{Z^+}$donde los factores primeros de $q$ están mayores que $n$

Question

La pregunta originalmente estados:

Deje $n$ e $q$ son enteros positivos, de tal manera que todos los primos divisores de $q$ son mayores de $n$. Mostrar que $$(q-1)(q^2-1)(q^3-1)...(q^{n-1}-1) \equiv 0 \pmod {n!}$$

Decidí que sería más fácil de tratar y demostrar que siempre habrá al menos un $q^i \equiv 1 \pmod {n!}$ , pero fracasó. Tenía la esperanza de obtener algún tipo de ayuda (tal vez una sugerencia) en esta pregunta, ya que nunca he tratado con factorial y un modular pregunta.

Answer 1

Para cada primer número natural $p\leq n$, el mayor entero no negativo $r$ tal que $p^r$ divide $n!$ es $r=e_p(n)$, donde $$e_p(n):=\sum_{k=1}^\infty\,\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\,.$$ Vamos a probar que si $E_{p,q}(n)$ es el mayor entero no negativo $r$ tal que $p^r$ divide $\prod\limits_{k=1}^{n-1}\,\left(q^k-1\right)$, luego $$e_p(n)\leq E_{p,q}(n)\,.$$

Deje $v_p$ ser $p$-ádico de valoración (es decir, $e_p(n)=v_p(n!)$ e $E_{p,q}(n)=v_p\left(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\,\left(q^{k}-1\right)\right)$). Tenemos para cada entero positivo $k$que $$v_p\left(q^{k(p-1)}-1\right)=v_p\left(q^{p-1}-1\right)+v_p(k)\geq 1+v_p(k)$$ por el Levantamiento de la Exponente Lema. (La desigualdad de $v_p\left(q^{p-1}-1\right)\geq 1$ es debido a Fermat Poco Teorema.)

En particular, vemos que $$E_{p,q}(n)\geq \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{p-1}\right\rfloor}\,v_p\left(q^{k(p-1)}-1\right)\geq \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{p-1}\right\rfloor}\,\left(1+v_p(k)\right)\,.$$ Desde $e_p(n)=\displaystyle \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\,v_p(pk)= \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\,\left(1+v_p(k)\right)$ e $\left\lfloor\dfrac{n-1}{p-1}\right\rfloor \geq \left\lfloor\dfrac{n}{p}\right\rfloor$, llegamos a la conclusión de que $$E_{p,q}(n)\geq \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\,\left(1+v_p(k)\right)=e_p(n)\,.$$

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Sin embargo, no es cierto que $q^i\equiv 1\pmod{n!}$ para algunos $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Por ejemplo, tome $n:=6$ e $q:=11$. A continuación, $$q^1-1=10\not\equiv0\pmod{6!}\,,$$ $$q^2-1=120\not\equiv0\pmod{6!}\,,$$ $$q^3-1=1330\equiv 610\equiv\not\equiv0\pmod{6!}\,,$$ $$q^4-1=14640\equiv 240\not\equiv0\pmod{6!}\,,$$ $$q^5-1=161050\equiv 490 \not\equiv0\pmod{6!}\,.$$ y $$q^6-1=1 1771560\equiv 360\not\equiv 0\pmod{6!}\,.$$