Show$\{-n + 1/n \ : n \in \mathbb{N}\}$ es un conjunto cerrado

Question

Tengo el set

PS

Mi intento

Traté de encontrar algún punto límite en A, pero

$$\ lim_n (-n + 1 / n) = - \ infty$$

¿Hay alguien para ayudar?

Answer 1

El complemento de $A$ es $\bigcup_{n\in\mathbb N}(-n-1+\frac1{n+1},-n+\frac1n)\bigcup(0,+\infty)$ , que es una unión de intervalos abiertos, por lo tanto abierto. Por lo tanto, $A$ , como complemento de un subconjunto abierto, está cerrado.

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Espero que esto ayude.

Answer 2

Si quiere probar que su conjunto está cerrado usando secuencias, puede usar el hecho de que, precisamente porque $\lim_{n\to\infty}-n+\frac1n=-\infty$ , las únicas secuencias convergentes de números de la firma $-n+\frac1n$ son aquellas que son constantes después de cierto punto. Y cada una de esas secuencias converge a otro elemento de tu conjunto, obviamente.

Answer 3

La intersección del conjunto con cualquier subconjunto compacto (es decir, cerrado y acotado) de $\mathbb{R}$ es finito, por lo tanto, cerrado. Como los espacios de métrica son $k$ espacios, el conjunto se cierra.