Validación de una conjetura sobre el teorema del residuo chino para grupos

Question

Me preguntaba si la siguiente afirmación es verdadera:

Deje $G$ ser un grupo con normalidad subgrupos $H_1,H_2,...H_n$. Supongamos $H_iH_j=G$ para todos los $i\neq j$. A continuación, $G/H_1\cap H_2...\cap H_n\cong G/H_1 \times...\times G/H_n.$

Hay una pregunta similar aquí, que es el caso cuando se $n=2$. También hay una pregunta similar aquí, pero las condiciones incluyen el índice de un subgrupo. Quiero librarme de tal condición, de modo que la conclusión es aplicable a otras situaciones.

Pero cuando traté de proceder a prueba por inducción para obtener la conclusión arbitraria $n$, las cosas se fueron no tan accesible.

Si usted piensa que esto es falso, por favor dar un contra-ejemplo. Si usted cree que esto es así, por favor comparta sus ideas de la prueba. Gracias!

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, supongamos $G=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ y deje $H_1,H_2,H_3\subset G$ ser los tres subgrupos de orden $2$. A continuación, $H_iH_j=G$ para todos los $i\neq j$ pero $G/(H_1\cap H_2\cap H_3)\cong G$ ha $4$ elementos, mientras que $G/H_1\times G/H_2\times G/H_3\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ ha $8$ elementos.