¿Qué significa calcular el inverso de una matriz?

Question

Supongamos que tenemos 3 ecuaciones, $x+2y+z=2, 3x+8y+z=12, 4y+z=2$ que podría ser representado en la forma de la matriz ($Ax = b$) como este: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}\bigl .\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{pmatrix}$ Entonces, la inversa de a$A$, $A^{-1}$, sería: $\begin{pmatrix} 2/5 & 1/5 & -3/5\\ -3/10 & 1/10 & 1/5\\ 6/5 & -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}$. Entonces, mi pregunta es, ¿esto qué significa? Sabemos que $A$ es una coeficientes de la matriz que representa las 3 ecuaciones de arriba, así que ¿qué $A^{-1}$de media con respecto a estas 3 ecuaciones? Qué he hecho yo para las 3 ecuaciones es exactamente mi pregunta.

Por favor, tenga en cuenta que entiendo muy bien cómo encontrar la inversa de una matriz, simplemente no entiendo la intuición de lo que está sucediendo y de ordenación del significado de las manipulaciones estoy aplicando a las ecuaciones cuando están en forma de matriz.

Answer 1

La multiplicación de la matriz corresponde a la sustitución de variables nuevas para el dado en el sistema de ecuaciones lineales. En más detalle, para un sistema de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas $X_1,\dots ,X_n$, supongamos que $A$ representa el sistema de ecuaciones. Supongamos ahora que introducir nuevas variables $Y_1,\dots ,Y_n$ y expresar cada una de las $X_i$ como una combinación lineal de las variables nuevas. Si usted escribe $B$ para la matriz de coeficientes de las $X_i$ representado como combinaciones de los $Y_i$, entonces la matriz de $AB$ corresponde a la matriz de coeficientes del sistema original de ecuaciones después de la sustitución de las nuevas variables. Si usted trabaja para el caso de $n=2$ es fácil ver lo que está pasando. De hecho, esto es una manera de motivar la definición de la multiplicación de la matriz (en general, no sólo para matrices cuadradas).

Ahora, todo lo que esto nos dice es que si usted tiene $A$ y se encontró que el $B=A^{-1}$ es su inversa, entonces si introduce nuevas variables $Y_1,\dots , Y_n$ y expresar el $X_i$ en términos de las personas por la lectura de los coeficientes en la inversa de la matriz $B$, la sustitución de estas variables en el sistema original va a resultar en un sistema muy sencillo. Es decir, el coeficiente de después de la sustitución serán los coeficientes en $AB=I$. Este es el sistema más simple en el mundo. Así, encontrar la inversa de una matriz es equivalente a encontrar un cambio de coordenadas, a partir de la $X_i$'s de la $Y_i$'s, que hacen que el sistema de ecuaciones particularmente agradable.

De nuevo, esto es cierto para todos los sistemas, no sólo a $n\times n$.

Answer 2

Veamos el original de las tres ecuaciones.

$$x+2y+z=2$$ $$3x+8y+z=12$$ $$4y+z=2$$

---

Ahora vamos a multiplicar por $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{5}$, e $\frac{-3}{5}$ respectivamente. Tenemos

$$\frac{2x}{5}+\frac{4y}{5}+\frac{2z}{5}=\frac{4}{5}$$ $$\frac{3x}{5}+\frac{8y}{5}+\frac{z}{5}=\frac{12}{5}$$ $$\frac{-12y}{5}+\frac{-3z}{5}=\frac{-6}{5}$$

Ahora agregue las tres ecuaciones. Tenemos

$$x + 0y + 0z = 2$$

o

$$x=2$$

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Ahora multiplique el mismo tres ecuaciones por $\frac{-3}{10}$, $\frac{1}{10}$, e $\frac{1}{5}$ respectivamente. Tenemos

$$\frac{-3x}{10}+\frac{-6y}{10}+\frac{-3z}{10}=\frac{-6}{10}$$ $$\frac{3x}{10}+\frac{8y}{10}+\frac{z}{10}=\frac{12}{10}$$ $$\frac{4y}{5}+\frac{z}{5}=\frac{2}{5}$$

Sumando

$$0x + y + 0z = \frac{10}{10}$$

o

$$y = 1$$

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Ahora multiplique el mismo tres ecuaciones por $\frac{6}{5}$, $\frac{-2}{5}$, e $\frac{1}{5}$ respectivamente. Tenemos

$$\frac{6x}{5}+\frac{12y}{5}+\frac{6z}{5}=\frac{12}{5}$$ $$\frac{-6x}{5}+\frac{-16y}{5}+\frac{-2z}{5}=\frac{-24}{5}$$ $$\frac{4y}{5}+\frac{z}{5}=\frac{2}{5}$$

Sumando

$$0x + 0y + z = \frac{-10}{5}$$

o

$$z = -2$$

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Y si nos fijamos en el número por el que multiplicamos, son de

$$\begin{pmatrix} 2/5 & 1/5 & -3/5\\ -3/10 & 1/10 & 1/5\\ 6/5 & -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} = A^{-1}$$

Lo que hacemos básicamente hizo la multiplicación de la matriz de $A \cdot A^{-1}$ conseguir $I$ manualmente cuando podríamos haber hecho

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & 1/5 & -3/5\\ -3/10 & 1/10 & 1/5\\ 6/5 & -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}$$

y obtenido la misma respuesta. $A^{-1}$ es esencialmente el número por el que multiplicamos las ecuaciones de modo que podemos sumarlas y obtener las soluciones. La solución para que la inversa es la determinación de los números. Por supuesto, si usted está trabajando con las ecuaciones, sería más fácil de sustituir en lugar de los nueve números. La ventaja aquí es que no tenemos que multiplicar $A\cdot A^{-1}$, como ya sabemos el resultado. Podemos hacer el lado derecho de la multiplicación.

Answer 3

Vamos a organizar nuestras ecuaciones de esta manera:

$x\begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ + $y\begin {bmatrix} 2 \\ 8 \\ \vdots \\ 4 \end{bmatrix}$ + $z\begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ = $\begin {bmatrix} 2 \\ 12 \\ \vdots \\ 2 \end{bmatrix}$

Cuando usted ha hecho inversa tenemos:

$2\begin {bmatrix} 2/5 \\ -3/10 \\ \vdots \\ 6/5 \end{bmatrix}$ + $12\begin {bmatrix} 1/5 \\ 1/10 \\ \vdots \\ 2/5 \end{bmatrix}$ + $2\begin {bmatrix} -3/5 \\ 1/5 \\ \vdots \\ 1/5 \end{bmatrix}$ = $\begin {bmatrix} x \\ y \\ \vdots \\ z \end{bmatrix}$

Inicialmente en el lado derecho habíamos $[2 \ 12 \ 2 ]^T$. Con inversa, queremos poner a$[x \ y \ z ]^T$ en el lado derecho.

Otra forma es pensar $[2 \ 12 \ 2 ]^T$ como un punto representado con tres vectores $[1 \ 3 \ 0 ]^T$, $[2 \ 8 \ 4 ]^T$, $[1 \ 1 \ 1 ]^T$. $x,y,z$ fue de los factores de escalado. Ahora hemos transformado el mismo punto en $[x \ y \ z ]^T$ usando vectores asociados con vectores columna de a$A^{-1}$.

Answer 4

Depende del método que usted utilice para calcular la inversa. Por ejemplo, si utiliza la descomposición LU. A continuación, dada la matriz de $A$ hemos

$$\underbrace{L_{m-1}, \cdots L_{2} ,L_{1}}_{L^{-1}} A = U \tag{1}$$

que es $A = LU$ se compone de un menor y triangular superior de la matriz. La parte inferior triangular $L$ es un registro que utiliza para seguir la pista de la eliminación de las entradas para realizar la $U$ matriz, o la reducción de forma escalonada (a veces). Es simplemente una relación de las filas. Cuando usted toma el inverso de ya sea que usted va a terminar con un menor triangulares o triangular superior de la matriz de nuevo. En cualquier caso significaba tal que

$$A = LU \implies A^{-1}A = (LU)^{-1}(LU) = U^{-1}L^{-1}LU = I \tag{2}$$

Técnicamente si usted está tratando de encontrar que el vector está utilizando dos pasos atrás sub frente y sub.

Si tenemos la $Ax=b$ problema que tenemos

$$LUx=b \tag{3}$$

tenemos dos problemas

$$Ly =b \tag{4}$$

$$y_{1} = \frac{b_{1}}{l_{11}} \tag{5}$$ $$y_{i} = \frac{1}{l_{ii}} \bigg( b_{i} -\sum_{j=1}^{i-1} l_{ij} y_{j} \bigg) \tag{6}$$ es delantero sub

$$Ux = y \tag{7}$$

y de nuevo sub

$$x_{i} = \frac{1}{u_{ii}} \bigg( y_{i} - \sum_{j=i+1}^{N} u_{ij} x_{j} \bigg) \tag{8}$$

La intuición depende de la matriz de descomposición. Me gustaría dude en llamar el vector de obtener una combinación lineal de las filas o columnas porque si bien es cierto que no tiene sentido.

Answer 5

Hay dos posibles puntos de vista sobre lo que está haciendo cuando se calcula la inversa de una matriz.

Un punto de vista es el que edo ya se mencionó en su respuesta: La matriz puede ser imaginado como la transformación de un punto en el espacio 3D. Por ejemplo, usted podría llenar la matriz con los valores que describen una rotación alrededor de un eje en 3D, como la rotación alrededor de $45°$ alrededor del eje x. Calcular la inversa de una matriz, a continuación, sólo se describe la inversa de la transformación. En este caso, esta sería la rotación alrededor de $-45°$ alrededor del eje x. A la inversa permite "deshacer" la operación que se hizo con la matriz original.

Ahora, esto de alguna manera ofusca el punto de la base de ecuaciones. El otro punto de vista es describir lo que en realidad estamos haciendo con esta matriz cuando se describe un sistema de ecuaciones:

Cuando usted tiene un sistema de ecuaciones expresado como $Ax=b$, usted está buscando para el vector $x$ que "hace que esta expresión de la verdad". Ahora usted podría utilizar diferentes enfoques para encontrar este vector. Por ejemplo, algún tipo de aproximación iterativa, eliminación, o incluso del ensayo-y-error - no importa.

El punto es:

• Para un vector $b = (4,3,9)$, usted podría encontrar el vector $x = (3.2, 4.5, 2.3)$
• Para un vector $b = (1,8,4)$, usted podría encontrar el vector $x = (2.1, 7.5, 1.5)$
• Para un vector $b = (6,1,5)$, usted podría encontrar el vector $x = (1.6, 6.2, 5.3)$
• Para un vector $b = (4,6,1)$, usted podría encontrar el vector $x = (5.2, 4.6, 5.7)$
• ...

_{(Los números están hechos, sólo para ilustración)}

Lo que está haciendo cuando se calcula la inversa de la matriz es:

Que se van a resolver todos estos problemas al mismo tiempo. Va a derivar una regla que indica cómo obtener la coincidencia de $x$ cualquier $b$, sin cálculo, sólo por "mirar hacia arriba", el valor de $A^{-1}b$. Así que en lugar de resolver un problema, se van a resolver infinidad de problemas. Eso es una cosa buena, y bastante útil.