İMO 2011: demuestre que, para todos los enteros$m$ y$n$ con$f(m)<f(n)$, el número$f(n)$ es divisible por$f(m)$

Question

Problema: Vamos a $f$ ser una función de un conjunto de números enteros el conjunto de los enteros positivos. Supongamos que, para cualesquiera dos enteros $m$ e $n$, la diferencia de $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m-n)$. Demostrar que, para todos los enteros $m$ e $n$ con $f(m)<f(n)$, el número de $f(n)$ es divisible por $f(m).$ (Recurso: IMO 2011)

Mi método:

$$\frac {f(m)-f(n)}{f(m-n)}\in\mathbb{Z}$$

Si $f(m)=f(n)$ , $\frac{f(n)}{f(m)}=1\in \mathbb {Z^{+}}$

Puedo aceptar $f(n)>f(m)$.

Es obvio, $f(n)-f(m)≥f(m-n)$

$$\begin{cases} m \mapsto m & \\ n \mapsto m-n& \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} f(m) \mapsto f(m) & \\ f(n) \mapsto f(m-n) & \end{cases}$$

Ahora, voy a demostrar que $f(m-n)=f(m)$ debe ser.

Es obvio $$\frac {f(m)-f(n)}{f(m-n)}\in\mathbb{Z} \Rightarrow \frac {f(m)-f(m-n)}{f(n)}\in\mathbb{Z}$$

Si $f(m)≠f(m-n)$, podemos escribir $\mid f(m)-f(m-n) \mid ≥f(n)$. Considerando $f(m)>0 , f(m-n)>0$ e $f(n)>f(m)$ obtenemos $f(m-n)>f(m)$ debe ser.

Caso $1.$

$$f(m-n)-f(m)≥f(n)$$

Caso $2.$

$$f(m)=f(m-n)$$

Deje $n=0$, para el Caso de $1$, podemos escribir $f(n)≤f(m-n)-f(m) \Rightarrow f(0)≤0$ Pero, esto es una contradicción. Porque, $E(f)>0$. Así, tenemos, si $f(n)>f(m)$ entonces $f(m)=f(m-n)$ debe ser.

Finalmente,

$$\frac {f(m)-f(n)}{f(m-n)}\in\mathbb{Z} \Rightarrow \frac {f(m)-f(n)}{f(m)}\in\mathbb{Z} \Rightarrow \frac {f(n)}{f(m)} \in \mathbb{Z^{+}}$$ Q. E. D.

Puede Usted verificar mi solución? Porque, yo no estoy tan seguro. No tengo un profesor para aprobar la solución.

Answer 1

Su prueba es correcto para mí.

Ahora, voy a demostrar que $f(m-n)≥f(m)$ debe ser.

Creo que tienes una errata aquí. Debe ser $f(m-n)=f(m)$.

Es obvio $$\frac {f(m)-f(n)}{f(m-n)}\in\mathbb{Z} \Rightarrow \frac {f(m)-f(m-n)}{f(n)}\in\mathbb{Z}$$

Sí, $f(m)-f(m-n)$ es divisible por $f(m-(m-n))=f(n)$.

Si $f(m)≠f(m-n)$, podemos escribir $\mid f(m)-f(m-n) \mid ≥f(n)$. Considerando $f(m)>0$ e $f(m-n)>0$, obtenemos $f(m-n)>f(m)$ debe ser. Porque, $f(n)>f(m).$

Caso $1.$

$$f(m-n)-f(m)≥f(n)$$

Caso $2.$

$$f(m)=f(m-n)$$ Deje $n=0$, para el Caso de $1$, podemos escribir $f(n)≤f(m-n)-f(m) \Rightarrow f(0)≤0$ Pero, esto es una contradicción. Porque, $E(f)>0$. Así, en el caso de $1$ es imposible.

Yo creo que no hay necesidad de separar en casos como el siguiente :

"Supongamos que $f(m)\not =f(m-n)$. Entonces, podemos escribir $\mid f(m)-f(m-n) \mid \ge f(n)$. Considerando $f(m)>0$ e $f(m-n)>0$, obtenemos $f(m-n)>f(m)$ porque $f(n)>f(m).$ Se sigue que $f(m-n)-f(m)\ge f(n)$. Deje $n=0$. Entonces, podemos escribir $f(n)≤f(m-n)-f(m) \implies f(0)≤0$ que contradice $f(0)\gt 0$. Por lo tanto, tenemos $f(m)=f(m-n)$."

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Otra forma de probar la $f(m-n)=f(m)$.

Tenemos $$-f(n)\lt f(m)-f(n)\le -f(m-n)\lt 0$$ a partir de la cual $$0\lt f(m-n)\lt f(n)$$ de la siguiente manera.

De $$f(m)-f(m-n)\lt f(m)+f(m-n)\le f(n)$$ y $$f(m-n)\lt f(n)\lt f(n)+f(m)\implies -f(n)\lt f(m)-f(m-n)$$ tenemos $$-f(n)\lt f(m)-f(m-n)\lt f(n)$$

Desde $f(m)-f(m-n)$ es divisible por $f(m-(m-n))=f(n)$, obtenemos $f(m)-f(m-n)=0$.