El lema de Yoneda dice (a mi entender) que en lugar de estudiar una categoría directamente, puedes estudiar las relaciones de esa categoría entre sus relaciones en Set . ¿Es la función de Set única aquí? ¿O pueden otras categorías como Top hacer algo similar? Si es así, ¿cuáles son algunos ejemplos? Si no es así, ¿qué es único acerca de Set ? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Daniel Robert-Nicoud
Puntos
9698
En el caso de las categorías enriquecidas, existe una versión enriquecida del lema de Yoneda .
Hay dos maneras de interpretar su pregunta. La identificación de la función de Establecer en el Yoneda lema como la categoría donde las categorías están enriquecidos en revela que si consideras $\mathcal V$enriquecido categorías, que no va a cambiar a $\mathcal V$ y se obtiene la enriquecido Yoneda lema.
Otra forma de interpretar la pregunta es si para el común de las categorías (o más en general, para las categorías enriquecido en un fijo dado $\mathcal V$, pero vamos a mantener todo simple considerando ordinario categorías) se puede reemplazar Establecer otra categoría y todavía hacer que las cosas funcionen bien. Ahora, pensando en el Yoneda lema como encender una categoría abstracta en una categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son las funciones, es decir, como representación de una categoría abstracta, como una subcategoría de algo absed en Conjunto (generalización de Cayley de la representación de un resumen de grupo como un grupo de permutaciones) de lo que estamos pidiendo es que si hay una categoría $\mathscr C \ne \mathbf {Set}$ tal que cualquier abstracto (pequeño) categoría puede ser representado como una subcategoría de algo basado en la $\mathscr C$. (Sí, esto es un poco vago.)
La respuesta es trivialmente sí, simplemente por tomar cualquier categoría que contiene $\mathbf {Set}$ como una subcategoría (así, en particular, $\mathbf {Top}$ ). Sin embargo, hay más a la Yoneda lema que sólo la representación. Es muy estrechamente relacionado con representable functors. Por lo tanto, estamos pidiendo no sólo para representar una categoría abstracta, sino que la representa de una manera muy particular. La adición de esta condición en la pregunta lleva a preguntar: es el codominio de la Yoneda lema $\mathscr D\to \mathbf{Set}^{\mathscr D^{\mathrm op}}$ único de alguna manera? La respuesta es que es, es decir, que el cocompletion de $\mathscr D$. Así, en este contexto más amplio, la base de la categoría que se $\mathbf {Set}$ es forzado.
