¿Cómo se $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}, \operatorname{Spec}\mathbb{R}, \operatorname{Spec}\mathbb{C}$ etc. diferente?

Question

Por definición $\operatorname{Spec}k$ es un punto para cualquier campo $k$ . Así que $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}, \operatorname{Spec}\mathbb{R}, \operatorname{Spec}\mathbb{C}$ etc. son iguales que los espacios topológicos. Pero según el mapa de inclusión natural $$ \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} $$ existen morfismos naturales $$ \operatorname{Spec}\mathbb{Q} \leftarrow \operatorname{Spec}\mathbb{R} \leftarrow \operatorname{Spec}\mathbb{C}, $$ pero no en la otra dirección. Así que $\{\operatorname{Spec}k\}_k$ debe llevar más información que un mero espacio topológico puntual.

Agradecería que alguien tuviera la amabilidad de explicarme qué está pasando.

Answer 1

La información adicional que se transmite es la estructura del régimen. Es decir, todos ellos son espacios localmente anillados con un único punto cerrado, pero con diferentes gavillas de funciones regulares correspondientes a los anillos $\Bbb Q,\Bbb R,\Bbb C.$ Las funciones que usted describe llevan a lo largo de esta información gavilla a través de pushforward a lo largo de un trivial (set-theoretic / topológico) mapa.

Tenga en cuenta que $\operatorname{Spec}(\Bbb C[t]/t^n)$ es otro espacio unipuntual con una estructura de esquema diferente al resto. Y hay muchos más ejemplos, de hecho se puede tomar el espectro de cualquier anillo local artiniano.

PD - ¡No te preocupes, esto enriquece mucho la geometría algebraica! En cierto sentido, la estructura del esquema "recuerda" información que el espacio topológico olvida, por ejemplo en las familias degeneradas. Eisenbud-Harris y Hartshorne tienen bonitos ejemplos, en el capítulo II y en el capítulo II.9 respectivamente, si no recuerdo mal.