encuentra el límite de una medida

Question

Supongamos que$E$ es un conjunto medible de Lebesgue de medida finita. Encuentra$$\lim_{h\to 0^+} \frac{m(E\cap[x,x+h])}{h}$ $. Me parece que este límite es la función de indicador sobre E, si lo consideramos en dos casos: x en E y x no en E. En el caso en que x está en E, quiero tener la fracción igual a 1 cuando h es suficientemente pequeño, pero me quedé atascado. Por favor ayúdame gracias

Answer 1

Esta es una aplicación directa del teorema de diferenciación de Lebesgue : $$ \ frac {m (E \ cap [x, x + h])} {h} = \ frac1h \, \ int _ {[x, x + h]} \, 1_E \ a 1_E \, \ \ \ \ \ text {ae} $$