Estoy tratando de mostrar la existencia de conjuntos $E_1, E_2,\ldots$ s.t. $E_k \searrow E$ , $|E_k|_e$ (medidas exteriores de $E_k$ ) son finitos y $\lim |E_k|_e > |E|_e$ estrictamente.
Tomé un subconjunto no medible de $[0,1)$ y trató de encontrar una secuencia de conjuntos no medibles decreciente al conjunto vacío. Sabemos que todos estos conjuntos tienen medida exterior positiva, pero ¿es posible que su límite sea positivo? (¿o existe tal secuencia decreciente?)
El intervalo unitario puede dividirse en un número contable de conjuntos $B_k$ de medida exterior 1. (De hecho, es mucho más cierto; se puede dividir en un continuo de conjuntos de Bernstein, es decir, conjuntos tales que todo conjunto cerrado incontable se encuentra con todos ellos). Sea $E_n=\bigcup_{k>n}B_k$ . Estos conjuntos $E_n$ todos tienen medida exterior 1 y convergen al conjunto vacío.
Así, cada $B_k$ es de medida exterior uno por lo que son $E_n$ Los conjuntos no medibles son realmente contraproducentes ¿cómo puedo demostrar que $E_n$ ¿tiene medida exterior una?
El siguiente trabajo muestra que se puede particionar un conjunto cerrado de medida positiva en cualquier número $\kappa$ de conjuntos no medibles con medida exterior e interior completa, siempre que $2\leq\kappa\leq\mathfrak{c}$ .
Alexander Abian, Partición de conjuntos cerrados no numerables de reales Revista Matemática Checoslovaca, Vol. 26 (1976), nº 2, 207--210.
Por lo demás, proceda como en la respuesta de Andreas Blass.
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