WolframAlpha tiene una respuesta diferente para una integral definida, ¿por qué?

Question

Así que me encontré con esta contradicción y te agradecería si alguien podría ayudar a explicar lo que está sucediendo: Así que cuando me realice la siguiente integral en el papel:

$$\int_{-1}^1(\sqrt[3]{x} -2)\;dx \; = [\frac 34 x^{\frac 43} \, -2x]_{-1}^1\; =$$

$$=\frac 34 1^{\frac 43} -2 -(\frac 34 (-1)^{\frac 43} +2)= \frac 34 - 2 -\frac 34 -2 = -4$$

Puedo obtener -4 como una respuesta, y cuando yo de entrada lo mismo en WolframAlpha, el resultado es un número complejo (-2.875 +0.649* i), como se puede ver en la siguiente foto. ¿Alguien puede explicar esta discrepancia? Qué tiene que ver con la computadora mediante aproximaciones?

http://i.stack.imgur.com/5bOYl.png

Answer 1

cuberoot tiene tres respuestas posibles. WolframAlpha (y muchos otros software) recoge el uno con el más mínimo argumento. Si has intentado encontrar cuberoot-1, le daría 0,5 +0.866 i

http://www.wolframalpha.com/INPUT/?i=%28-1%29%5e%281%2F3%29

En el futuro, si desea evitar esto, utilice sign(x)(|x|) ^(1/3) (para x)

Answer 2

Hay tres complejos cúbicos raíces de $-1$. En cierto sentido, la más natural es $e^{i\pi/3}= 1/2 + i \sqrt{3}/2$, el llamado principal, y Wolfram Alpha utiliza este.

Esto es debido a que uno puede expresar todos los no-cero de número complejo y por lo tanto también se $-1$ $r e^{i \theta}$ con algunos reales positivos $r$$\theta \in (-\pi , \pi]$, llama la forma polar del número complejo. Para determinar una raíz cúbica, uno puede calcular el $\sqrt[3]{r}e^{i \theta/3}$. Como $-1= 1 e^{i \pi}$ uno obtiene el resultado anterior.

Uno también se $-1$ en este formulario, para obtener todas las raíces cúbicas se podría considerar $\sqrt[3]{r}e^{i \theta/3}$, $\sqrt[3]{r}e^{i (\theta+ 2 \pi)/3}$, $\sqrt[3]{r}e^{i (\theta+ 4 \pi)/3}$.

Para $\theta = \pi$, para nuestro caso, el del medio es $-1$. Pero la miraba como esta es una menos de la selección natural.

Véase un reciente relacionada pregunta para discusión ¿Cuál es la principal raíz cúbica de a $-8$?

Answer 3

Esto no tiene que ver con aproximaciones, sino con el valor de$\sqrt[3]{-1}$.

Wolfram Alpha está utilizando$\sqrt[3]{-1}=e^{\pi i/3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$