¿Podría cada palabra periódica $\eta$ factorizado $\eta = pq^{\omega}$ tal que $pq$ ¿es primitivo?

Question

Una palabra infinita $\eta$ se denomina periódica en última instancia si $\eta = pq^{\omega}$ para algunos $p, q \in X^*$ . Una palabra $w \in X^*$ se llama primitivo si no es una potencia de otra palabra, es decir, si no puede escribirse como $w = v^n$ para algunos $v \in X^*$ y $n > 1$ .

Si $\eta$ es en última instancia periódica, podría $p, q$ tal elegido que la concatenación $pq$ ¿es primitivo?

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $q$ se puede suponer que es primitivo, porque si $q=r^k$ entonces $q^{\omega}=r^{\omega}.$ Ahora bien $pq$ es primitivo hemos terminado restableciendo $p$ como $pq$ . Sea $x$ sea el primer símbolo de $q$ . Entonces uno puede pelar eso de $q$ y obtener $q^{\omega}=x(q')^{\omega}$ donde $q'$ es una permutación cíclica de $q.$ Por ejemplo $$(abc)(abc)(abc)\cdots =a(bca)(bca)(bca)\cdots.$$ Así que podemos terminar siempre que demostremos que al menos uno de $pq$ y $pqx$ es primitivo.

Supongamos que ninguna es primitiva y escribamos cada una como una potencia no trivial, entonces llegamos a algo de la forma $R^mx=S^n$ donde $R^m=pq$ y $R^mx=S^n=pqx.$ Podemos suponer $R,S$ son primitivos, y también tenemos $m,n \ge 2.$ Denotemos las longitudes de $R,S$ por $r,s$ respectivamente. Si cualquiera de estas longitudes es $1$ el acabado es fácil, ya que la cuerda $pq$ es una concatenación de una sola letra, y a continuación $q$ es esa misma letra (en cuyo caso toma $p$ como cadena vacía para que $pq=q$ es primitivo), o bien $q$ tiene otras letras y se puede tomar $pq$ como una cadena de una letra seguida de otra distinta, lo que es claramente primitivo.

Ahora considera las longitudes. $R^mx$ tiene longitud $rm+1$ y $S^n$ tiene longitud $sn$ . Es decir $rm+1=sn,$ de la que se obtiene $\gcd(r,s)=1.$ Supongamos primero que $r<s.$ Entonces con subíndices en $S$ mod interpretado $s$ tenemos $S_{k+r}=S_k$ haciendo coincidir los dos primeros términos de $S^n$ contra los poderes de $R^m$ alineados con ellos. Desde $\gcd(r,s)=1$ los iterados $1,1+r,1+2r,\cdots$ rellenar e conjunto completo de subíndices mod $s$ y obtenemos que $S$ es una cadena de todos el mismo símbolo. Esto puede verse como una vuelta a un caso ya considerado, o bien como una contradicción con nuestra suposición de que $S$ es primitivo.

Un final similar es posible si suponemos $s<r$ . Puede que haya algunos detalles que requieran una comprobación más cuidadosa, pero creo que este enfoque funciona. Por ejemplo, hay que tener cuidado cuando $k$ está cerca del valor $s$ que añadir $r$ a $k$ permanece en la región donde coinciden las dos cuerdas. Sin embargo, creo que funciona porque hay al menos dos iteraciones de cualquiera de los dos $R$ o $S$ que coinciden, con tal vez un posible desajuste cuando $k=r$ que no importará. Puedo tratar de llenar este vacío en si se solicita.