¿Cómo es mensurable a pesar de la existencia de un conjunto no medible cada subconjunto de los números reales?

Question

Sabemos de la existencia de nonmeasurable subconjuntos de a $\mathbb R$ por Vitali, pero muchos libros y notas de la conferencia en la real análisis incluyen la afirmación de que cada subconjunto de los números reales es medible. Lo que me estoy perdiendo?

Contexto

En la página 2, bajo el título General de las Construcciones en estas notas, se dice que la colección de todos los subconjuntos forma una sigma-álgebra. Por otro lado, cada elemento de un sigma álgebra es medible por: Charalambos, Análisis Real (3ª edición), página 112, Teorema de 15.3.

Cómo resolver esta aparente contradicción?

Answer 1

Lo que las notas que enlaza a que están diciendo es que siempre es posible formar un $\sigma$-álgebra que consta de todos los subconjuntos de un conjunto $S$ (que podría ser $\mathbf{R}$).

Pero cuando hablamos de el teorema de que existen no medible de los subconjuntos de los reales, lo que queremos decir es que no es Lebesgue-medible.

Es decir, un $\sigma$-álgebra de subconjuntos de a $\mathbf{R}$ se define de una manera determinada, y sus miembros son llamados Lebesgue-medible conjuntos. El teorema dice que esta particular $\sigma$-álgebra no no constan de todos los subconjuntos de a $\mathbf{R}$.

EDIT: La definición de un "medibles" Aliprantis del libro Principios de Análisis Real, 3ª edición (p. 112) que usted ha mencionado es el siguiente.

"Un subconjunto $E$ de una medida de espacio $(X, S, \mu)$ será llamado medibles (más precisamente, $\mu$medible) si $E$ es medible con respecto a la exterior de medida $\mu^{*}$ generado por $\mu$."

El libro considera $S$ aquí para ser un semiring en lugar de a $\sigma$-álgebra.

De hecho esta es la definición de un Lebesgue-medible, cuando una cierta medida de espacio $(\mathbf{R}, S, \mu)$ es elegido. Aquí $S$ se compone de todos los intervalos de la forma $(a,b]$, e $\mu$ está definido por $\mu((a,b]) = b-a$.

El libro sigue:

"Cada miembro de $S$ es medible."

Así que lo que el libro dice es que cada intervalo de la forma $(a,b]$ es Lebesgue-medible, no que cada subconjunto de $\mathbf{R}$ es.

Answer 2

Solemos construir medida de Lebesgue $\mu$ sobre los números reales $\mathbb{R}$ por construir en primer lugar una capa exterior de medida $\mu^*$ cual es definido en todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Luego nos restringir a los subconjuntos $E$ que satisfacer, para cualquier conjunto de $A \subset \mathbb{R}$, $$\mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c).$$ La colección de todos los conjuntos de $E$ son lo que llamamos Lebesgue-medible conjuntos. No medible de conjuntos no cumpla esta igualdad. Después de restringir $\mu^*$ a estos conjuntos, obtenemos una bona fide de medida $\mu$, e $\mu$ es no definidas en todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$.