Demostrar que todo cero de $z^{4}-5z+1$ tiene multiplicidad 1

Question

Dejemos que $z \in \mathbb{C}$ Necesito probar $z^{4}-5z+1$ sólo tiene ceros con multiplicidad uno "con un cálculo mínimo". He intentado utilizar el principio de argumentación, pero eso me obliga a encontrar una curva que rodee cada cero. Lo único que se me ocurre es demostrar que $z^{4}-5z+1$ sólo puede ser un producto de polinomios irreducibles de grado 1, pero eso no parece un "cálculo mínimo". ¿Hay alguna forma rápida de resolver esto?

Answer 1

Una raíz doble (o peor) también sería una raíz de la derivada, pero $$ 4f(z)-z f'(z) = 4-15 z $$ sólo se desvanece en $z=\frac{4}{15}$ que no es una raíz para $f'(z)$ . De ello se desprende que $f(z)$ y $f'(z)$ no comparten ninguna raíz, es decir, que todas las raíces de $f(z)$ son simples.

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La idea anterior no surge de la nada: en realidad es el primer paso en el cálculo de un Cadena Sturm .

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$f'(z)=4z^3-5=0\implies z=\left(\frac54\right)^\frac13\implies z_1=\left(\frac54\right)^\frac13,z_2=\left(\frac54\right)^\frac13e^{\frac23\pi i},z_3=\left(\frac54\right)^\frac13e^{\frac43\pi i}$$

y

$$z_1^{4}-5z_1+1=-3z_1^4+1=-3\left(\frac54\right)^\frac43+1\neq 0$$

$$z_2^{4}-5z_2+1=-3z_2^4+1=-3\left(\frac54\right)^\frac43e^{\frac83\pi i}+1\neq 0$$

$$z_3^{4}-5z_3+1=-3z_3^4+1=-3\left(\frac54\right)^\frac43e^{\frac{16}3\pi i}+1\neq 0$$

Answer 3

Pista alternativa: el polinomio no tiene raíces reales negativas, y $0$ o $2$ positivos por el regla de los signos . Desde $p(0) \gt 0$ y $p(1) \lt 0$ tiene de hecho dos raíces positivas, una menor que $1$ y el otro mayor que $1$ por lo tanto, son distintos. Las dos raíces complejas restantes (no reales) también deben ser distintas ( ¿Por qué? ).

Answer 4

Supongamos que $a\in \mathbb C$ es (al menos) una raíz doble del polinomio dado $f(z) = z^4-5z+1$ . Entonces $a$ también es una raíz de $f'(z) = 4z^3-5$ . Tenemos que conseguir una rápida contradicción. De $$ 0=\Big(a^4-5a+1\Big)-a\cdot\frac 14\Big(4a^3-5\Big)=-\frac {15}4a+1 $$ obtenemos $a=4/15$ que no es una raíz (de $f'$ ).

Nota:

Utilizando una ayuda computacional, sage :

sage: R.<z> = PolynomialRing(QQ)
sage: f = z^4 -5*z +1
sage: # f has multiple roots iff its discriminant vanishes, but...
sage: f.discriminant()
-16619
sage: # The roots are approximatively...
sage: f.roots(QQbar, multiplicities=False)
[0.2003220662079570?,
 1.637305775417577?,
 -0.9188139208127669? - 1.484812643834945?*I,
 -0.9188139208127669? + 1.484812643834945?*I]

(Tuve que insertar algo nuevo, ya que demasiadas respuestas y comentarios daban el mismo cómputo, así que todos los humanos piensan humanamente, todos los ordenadores computacionalmente...)

Answer 5

Relativamente primo con su derivado

$$ \left( x^{4} - 5 x + 1 \right) $$

$$ \left( 4 x^{3} - 5 \right) $$

$$ \left( x^{4} - 5 x + 1 \right) = \left( 4 x^{3} - 5 \right) \cdot \color{magenta}{ \left( \frac{ x }{ 4 } \right) } + \left( \frac{ - 15 x + 4 }{ 4 } \right) $$ $$ \left( 4 x^{3} - 5 \right) = \left( \frac{ - 15 x + 4 }{ 4 } \right) \cdot \color{magenta}{ \left( \frac{ - 3600 x^{2} - 960 x - 256 }{ 3375 } \right) } + \left( \frac{ -16619}{3375 } \right) $$ $$ \left( \frac{ - 15 x + 4 }{ 4 } \right) = \left( \frac{ -16619}{3375 } \right) \cdot \color{magenta}{ \left( \frac{ 50625 x - 13500 }{ 66476 } \right) } + \left( 0 \right) $$ $$ \frac{ 0}{1} $$ $$ \frac{ 1}{0} $$ $$ \color{magenta}{ \left( \frac{ x }{ 4 } \right) } \Longrightarrow \Longrightarrow \frac{ \left( \frac{ x }{ 4 } \right) }{ \left( 1 \right) } $$ $$ \color{magenta}{ \left( \frac{ - 3600 x^{2} - 960 x - 256 }{ 3375 } \right) } \Longrightarrow \Longrightarrow \frac{ \left( \frac{ - 900 x^{3} - 240 x^{2} - 64 x + 3375 }{ 3375 } \right) }{ \left( \frac{ - 3600 x^{2} - 960 x - 256 }{ 3375 } \right) } $$ $$ \color{magenta}{ \left( \frac{ 50625 x - 13500 }{ 66476 } \right) } \Longrightarrow \Longrightarrow \frac{ \left( \frac{ - 3375 x^{4} + 16875 x - 3375 }{ 16619 } \right) }{ \left( \frac{ - 13500 x^{3} + 16875 }{ 16619 } \right) } $$ $$ \left( x^{4} - 5 x + 1 \right) \left( \frac{ - 3600 x^{2} - 960 x - 256 }{ 16619 } \right) - \left( 4 x^{3} - 5 \right) \left( \frac{ - 900 x^{3} - 240 x^{2} - 64 x + 3375 }{ 16619 } \right) = \left( 1 \right) $$

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