¿Cuándo es $2^n -7$ ¿un cuadrado perfecto?

Question

Esto surgió al resolver otro problema de ORL. Quiero preguntar cuando es: $$2^n -7 \text{ where } n\geq 3$$ ¿un cuadrado perfecto? En concreto, también quería saber cuáles serían las soluciones cuando $n$ es impar? ¿Cómo debo resolver esto?

Puedo comprobar que $n=3, 4, 7$ son soluciones pero no pueden encontrar más. Como es de la forma $4k+1$ no ayuda también.

Answer 1

La ecuación $$2^n-7=x^2$$ se llama Ecuación de Ramanujan-Nagell . Ha sido conjeturado por Ramanujan y demostrado por Nagell, y posteriormente por otros, que las únicas soluciones son $n=3,4,5,7$ y $15$ . Aquí hay dos pruebas:

• un originalmente debido a Hasse
• otro por Wells Johnson

Creo que todas las pruebas hacen uso de la factorización única en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ .

Answer 2

Por lo tanto, sólo había unas pocas soluciones para $2^n = x^2 + 7.$

El otro lado es, para $n \geq 3,$ siempre hay una solución para $$ 2^n = x^2 + 7 y^2 $$ con $\gcd(x,y)=1.$ Prueba por inducción; según recuerdo, para mantener lo de gcd, exigimos que $x \equiv y \equiv 1 \pmod 4$ para todos $n,$ que a veces requiere $x$ o $y$ o que ambos sean negativos. Nótese que no sería impresionante si permitiéramos $x,y$ incluso, porque al duplicar ambos $x,y$ sólo añade $2$ a $n.$

Sólo lo digo.