Integral utilizando fracciones parciales.

Question

Tengo problemas para usar fracciones parciales para evaluar$$\int \frac{6x}{x^3-8} dx.$ $ Puedo encontrar el denominador, pero usar las ecuaciones para encontrar el numerador es difícil.

Answer 1

Fracciones parciales para:$\frac{6x}{x^3-8}$

PS

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$$ \begin{cases} 4A-2C=0\\ 2A-2B+C=6\\ A+B=0 \end {cases} $$

Resolver

PS

PS

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Establecer$$\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{C+Bx}{x^2+2x+4}+\frac{A}{x-2}$ y$$6x=A(x^2+2x+4)+(x-2)(C+Bx)$

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Answer 2

Queremos realizar una fracción parcial de$\frac{6x}{x^3-8},$ por lo tanto$$\frac{6x}{x^3-8} = \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{Ax+B}{x^2+2x+4} + \frac{C}{x-2},$ $ por lo tanto$$\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{Ax^2-2Ax+Bx-2B+Cx^2+2Cx+4C}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{(A+C)x^2+(-2A+B+2C)x+(4C-2B)}{(x-2)(x^2+2x+4)},$ $ y aquí está nuestro sistema $$ \begin{cases} A+C = 0\\ 2C+B-2A = 6\\ 4C-2B=0 \end {casos}, $$ resolviendo el sistema que obtenemos $ $ \begin{cases} C = 1\\ B = 2\\ A=-1 \end {casos}, $$

puedes hacer la integración, teniendo$\frac{6x}{x^3-8} = \frac{2-x}{x^2+2x+4} + \frac{1}{x-2}?$

Answer 3

Primero, factor$x^3-8$. $x^3-8=(x^2+2x+4)(x-2)$$$\frac{6x}{x^3-8}=\frac{ax+b}{x^2+2x+4}+\frac{c}{x-2}$ $ Luego multiplique el denominador lhs en el lado derecho:$$6x=(x-2)(ax+b)+c(x^2+2x+4)$ $ Cuando$x=2$,$(x-2)(ax+b)$ # desaparezca y$$6(2)=c(4+4+4)\Rightarrow c=1$ $ ahora, podemos usar$c$ para resolver$ax+b$. $$6x-(1)(x^2+2x+4)=(x-2)(ax+b)$ $ que nos da$a=-1$ y$b=2$. Por lo tanto$$\int\frac{6x}{x^3-8}dx=\int\frac{2-x}{x^2+2x+4}+\frac{1}{x-2}dx$ $

Lo que te da lo que echzhen acaba de demostrar.