Extensión del campo, división del campo y teoría de Galois

Question

Deje que $f(x) \in \mathbb {Q}[x]$ ser un polinomio irreducible de grado $n \geq 3$ . Deje que $L$ ser el campo de división de $f$ y dejar que $ \alpha \in L$ ser una raíz de $f$ . Dado que $[ L:\mathbb {Q}]=n!$ probar que $ \mathbb {Q}( \alpha ^4)= \mathbb {Q}( \alpha ).$

Esta fue una pregunta del examen pasado del examen de calificación de la UC Berkeley

Answer 1

Deje que $ \alpha_ {1} = \alpha , \alpha_ {2}, \dots , \alpha_ {n}$ ser las raíces de $f$ y dejar que $ \Omega = \{ \alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n} \}$ . El grupo Galois $G \cong S_{n}$ actúa transitoriamente sobre $ \Omega $ así que $ \mathbb {Q}( \alpha )'$ (el subgrupo de $G$ correspondiente a $ \mathbb {Q}( \alpha )$ en la correspondencia de Galois) es $S_{n-1}$ . Ahora $S_{n}$ es $2$ -transitivo como $n \ge 2$ y por lo tanto primitivo, por lo que el $1$ -estabilizador de punto $S_{n-1}$ es máximo en $S_{n}$ .

De ello se deduce que hay dos posibilidades para $ \mathbb {Q}( \alpha ^4) \subseteq \mathbb {Q}( \alpha )$ o bien es $ \mathbb {Q}( \alpha )$ o es $ \mathbb {Q}$ .

Si esto último se mantiene, entonces $ \alpha $ es una raíz de un polinomio $g = x^{4} - c$ para algunos $c \in \mathbb {Q}$ y las raíces de $g$ son $ \alpha , - \alpha , i \alpha , -i \alpha $ . Claramente $g$ no tiene raíces en $ \mathbb {Q}$ (de lo contrario $ \pm \alpha \notin \mathbb {Q}$ o $i \alpha \in \mathbb {Q}$ para que $ \alpha ^{2} \in \mathbb {Q}$ y en cualquier caso $n < 3$ ), así que o bien se divide en $ \mathbb {Q}[x]$ como producto de dos irreductibles de grado $2$ (que se excluye por supuesto), o es irreducible en $ \mathbb {Q}[x]$ y así $g = f$ .

Pero entonces el grupo $G$ no es $S_{4}$ sino más bien de orden a lo sumo $8$ como $L = \mathbb {Q}( \alpha , i)$ para que $ \lvert L : \mathbb {Q} \rvert \le \lvert \mathbb {Q}( \alpha )(i) : \mathbb {Q}( \alpha ) \rvert \cdot \lvert \mathbb {Q}( \alpha ) : \mathbb {Q} \rvert \le 2 \cdot 4 = 8$ .

Answer 2

La prueba es más corta en el caso $n \geq 4$ que para $n=3$ .

Dejemos que las raíces de $f$ ser $ \alpha = \alpha_1 , \alpha_2 , \dots , \alpha_n $ .

Los números $ \alpha_1 ^4, \alpha_2 ^4, \dots , \alpha_n ^4$ son todos conjugados de $ \alpha ^4$ . Si podemos probar que son distintos, entonces $ \alpha ^4$ tendrá $n$ conjugados, de lo que deducimos que $[ \mathbf {Q}( \alpha ^4): \mathbf {Q}]=n$ y el resultado sigue.

Si hubiera dos $ \alpha_j ^4$ que no eran distintos (digamos $ \alpha_1 ^4 = \alpha_2 ^4$ ), entonces tendríamos $ \alpha_2 \in \{- \alpha_1 , i \alpha_1 , -i \alpha_1 \}$ . Ahora bien, desde $[ L:\mathbf {Q}] = n!$ cada permutación de las raíces $ \alpha_1 , \alpha_2 , \dots , \alpha_n $ corresponde a un automorfismo de $L$ . En particular, podemos arreglar $ \alpha_1 $ y aún así, sobre $ \mathbf {Q}( \alpha_1 )$ , $ \alpha_2 $ tiene $n-1$ conjugados, de ahí el grado $n-1$ sobre $ \mathbf {Q}( \alpha_1 )$ . Pero cada uno de los números $- \alpha_1 $ , $i \alpha_1 $ , $-i \alpha_1 $ tiene un título $1$ o $2$ sobre $ \alpha_1 $ .

En vista de lo anterior, la única posibilidad que queda es $n = 3$ y $ \alpha_2 = \pm i \alpha_1 $ digamos $ \alpha_2 = i \alpha_1 $ . En ese caso, el automorfismo cíclico $ \sigma $ determinado por $ \alpha_1 \mapsto \alpha_2 \mapsto \alpha_3 \mapsto \alpha_1 $ tiene orden $3$ pero también mapas $i = \frac { \alpha_2 }{ \alpha_1 } \mapsto \frac { \alpha_3 }{ \alpha_2 } \mapsto \frac { \alpha_1 }{ \alpha_3 } \mapsto \frac { \alpha_2 }{ \alpha_1 }$ . Desde $ \sigma $ tiene la orden 3, tenemos $ \sigma (i) \ne -i$ así que $ \sigma $ debe arreglar $i$ . Entonces obtenemos sucesivamente $ \alpha_2 = i \alpha_1 $ , $ \alpha_3 = - \alpha_1 $ , $ \alpha_1 = -i \alpha_1 $ una contradicción.