¿Por qué los esquemas de axiomas de Mendelson son ciertos?

Question

Estoy tomando el curso de lógica. El libro está disponible aquí

No entiendo por qué es Mendelson axioma esquemas son como son.

Por ejemplo, la implicación de la creación de esquemas

• $φ ⇒ (ψ ⇒ φ)$

Mis pensamientos cuando veo a esto es: "¿por Qué es ψ allí? Cómo llegó hasta aquí?".

Quiero decir, vamos a decir que $φ$ es la frase "me gustan las manzanas". Con este esquema puedo inferir implicación de que "me gustan las manzanas que implica que si todos los leones son los gatos, entonces me gustan las manzanas". Absolutamente no tiene sentido para mí.

Implicación de distribución es aún más confuso.

• $(φ ⇒ (ψ ⇒ χ)) ⇒ ((φ ⇒ ψ) ⇒ (φ ⇒ χ))$

Digamos que

$φ - \text{The cable is under high voltage}$

$ψ - \text{Person touches the cable}$

$χ - \text{Person will die}$

La aplicación de esta regla, se obtiene:

"Si el cable está bajo alta tensión implica que la persona que toca el cable, el cable está bajo alta tensión implica que la persona va a morir".

Que también es no tiene ningún sentido para mí.

Así lo hace la contradicción realización.

Puede alguien que me lo explique o me apunto a la lectura que hace?

Answer 1

"Me encantan las manzanas que implica que si todos los leones son los gatos, entonces me gustan las manzanas".

Pero esto tiene el sentido perfecto! Supongamos que yo soy una persona que ama las manzanas. Supongamos que algunas otras cosas también se sostiene; supongamos que todos los leones son los gatos, tengo el pelo castaño, mi color favorito es el arco iris, etc. Bueno, entonces sigue el caso de que me gustan las manzanas!

Por lo tanto, el esquema de $\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi)$ básicamente dice que si una instrucción $\varphi$ es cierto, es que su todavía cierto dado más hipótesis (que se denotan $\psi$).

¿Eso ayuda?

Answer 2

Tanto de las reglas $$\phi \to \psi \to \phi$$ and $$(\phi \to \psi \to \chi) \to (\phi \to \chi) \to (\phi \to \chi)$$ también puede ser validada por una comprensión diferente de la implicación, de lo que es conocido como el Curry-Howard isomorfismo. A diferencia de la idea de hacer otros ejemplos, de esta manera le permite ver las consecuencias como algo concreto en una forma que está respaldado por un teorema que voy a citar a continuación.

Para este punto de vista, pretender que cada variable representa un cierto "tipo" de objeto, y pretender que $A \to B$ significa "tengo un procedimiento para hacer que un objeto de tipo $B$ cuando se da un objeto de tipo $A$". Una declaración directa de una variable, por ejemplo, sólo se "$A$", significa "tengo una forma de producir objetos de tipo $A$ directamente".

Así, por ejemplo, $\phi \to \psi \to \phi$ dice: Si tengo una forma de producir objetos de tipo $\phi$ directamente, entonces tengo una forma de producir objetos de tipo $\phi$ cuando se administra objetos de tipo $\psi$. Es decir, me acaba de tirar el objeto de tipo $\psi$ y producir un objeto de tipo $\phi$ directamente!!! Esto valida la regla.

Del mismo modo, $$(\phi \to \psi \to \chi) \to (\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)$$ dice:

Supongamos que , cuando me dan un objeto de tipo $\phi$, entonces tengo una forma de producir un objeto de tipo $\chi$ cuando se da un objeto de tipo $\psi$. Entonces, si tengo una forma de producir un objeto de tipo $\psi$ cuando se da un objeto de tipo $\phi$, también debe tener una forma para producir un objeto de tipo $\chi$ cuando se da un objeto de tipo $\phi$.

La verificación no es difícil: en esencia, yo uso mi objeto de tipo $\phi$, y la suposición de $\phi \to \psi$ para producir un objeto de tipo $\psi$, entonces yo uso el supuesto de $\phi \to \psi \to \chi$ hacer un objeto de tipo $\chi$.

Aquí está la corrección resultado que he mencionado:

Teorema: Una alusión a la declaración en lógica proposicional puede ser verificado por este método si y sólo si es comprobable en intuitionistic lógica proposicional.

Si recuerdo correctamente, usted encontrará que todos, pero uno de Mendelson, el axioma de esquemas son verificables por este método; el restante expresa la doble negación de la eliminación de alguna manera. (Por desgracia, no tengo el libro, y la lista completa de los esquemas no está en la pregunta. Pero este método no comprobar los dos regímenes que se enumeran).

Answer 3

Estoy de acuerdo con @Asaf Karagila. La mayoría del tiempo en la vida real, las analogías son confusos para la comprensión de la lógica.

La implicación no corresponde a la "vida real" implicación $\phi \Rightarrow \psi$ no significa que $\psi$ es una consecuencia de la $\phi$ sólo indica que siempre que $\phi$ es cierto $\psi$ también es cierto.

La buena forma de entender la implicación es preguntarse qué pasaría si la parte izquierda es la verdadera. Para sus primeros casos $\phi\Rightarrow (\psi\Rightarrow \phi)$ si $\phi$ es falso, entonces la implicación es verdadera; si $\phi$ es cierto, entonces la implicación $\psi \Rightarrow phi$ es verdadera por lo tanto $\phi\Rightarrow (\psi\Rightarrow \phi)$ siempre es cierto.

El mismo razonamiento se obtendrá a través de la implicación de distribución.

Answer 4

Lo que usted está pensando es "de Un yo puede deducir B". Por ejemplo, a partir de Euclides los axiomas de que puedo deducir de thar, la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo pequeño, pero no puedo deducir que los múltiplos de 4 son múltiplos de 2, porque no hay ninguna relación entre los resultados.

Implicación en realidad es diferente: "no es el caso en que a es verdadero y B es falsa."

El primer "si" pertenece a la esfera de las pruebas;

El segundo, el reino de los conectivos lógicos, no a diferencia de la "y", "o".
Las conectivas acaba de crear nuevas declaraciones de los demás, y su verdad depende de la verdad de sus partes.
Algunas afirmaciones son tautologías: true, independientemente del valor de verdad de sus partes.
"O no" es la más sencilla; los axiomas de dar otros ejemplos, como se puede comprobar al hacer las tablas de verdad.