Supongamos que $f\in L^1(\mathbb{R})$ y que $f$ es impar. Demuestra que $$\lim_{\substack{b\to\infty \\ a\to0+}}\int_a^b\frac{\hat{f}(\xi)}\xi d\xi=-\pi i\int_0^\infty f(x)dx$$ Aquí $\hat{f}$ denota la transformada de Fourier de $f$ .
Demostré que si $f$ es impar, entonces $\hat{f}(\xi)=2i\int_0^\infty f(x)\sin(\xi x)dx$ . Además, estoy pensando en utilizar esta fórmula: $$\int \hat{f}(\xi)g(\xi)d\xi=\int f(x)\hat{g}(x)dx$$ para $f,g\in L^1(\mathbb{R})$
(En realidad no puedo usar la fórmula ya que $\frac{1}{x}$ no está en $L^1$ )
Además, esta desigualdad puede ayudar: $$\left|\int_0^b\frac{\sin ax}x dx\right|\le\int_0^\pi\frac{\sin x}xdx$$
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Tienes un subíndice doble en las dos ocurrencias del límite, lo que hace que el código MathJax no se renderice, causando que el título y el núcleo de la pregunta sean ilegibles para cualquiera que no sepa LaTeX. Además, las barras verticales alrededor del lado izquierdo de la última desigualdad son demasiado cortas y deberían alargarse mediante
\left…\right. Intenté editar la pregunta yo mismo pero la edición fue aparentemente rechazada. Supongo que está preguntando por un doble límite, así que podría añadir un\limantes del segundo subíndice para que la expresión sea tipificada? Gracias.