Evaluar $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J_n(n)}{n!}$

Question

¿Alguien tiene un consejo sobre cómo encontrar (si existe) una forma cerrada para

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J_n(n)}{n!}$$

Dónde $J_n$ representa la función de Bessel del primer tipo; numéricamente parece converger a $\approx 1.68226...$

Intenté jugar con las relaciones de recurrencia para las funciones de Bessel en un intento de encontrar una función generadora exponencial para $J_n(n)$ pero esto lleva a resultados sin sentido. ¿Alguna otra idea?

Answer 1

En forma de serie:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{J_n(n)}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^kn^{n+2k}}{n!k!(n+k)!2^{n+2k}}$