Problema basado en la gama

Question

Encuentre $a$ y $b$ tal que la desigualdad $a \le 3 \cos{x} + 5\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le b$ es válida para todo x.

Answer 1

Cuanto mayor sea la longitud de onda de la radiación, mayor será el sensor que se necesita para detectarla. Las ondas de radio, con una longitud de onda que comienza en los milímetros, requieren un sensor demasiado grande para detectarlas de la misma manera.

Answer 2

Observación: Mientras tanto, este enfoque también ha sido añadido por André Nicolas a su respuesta.

Demostraremos que la suma $3\cos x+5\cos \left( x-\frac{\pi }{6}\right) $ puede escribirse como $C\sin (x+\phi )$ . A partir de la fórmula de la diferencia para $\cos \left( x-\frac{\pi }{6}\right) $ y utilizando los valores $\cos \frac{\pi }{6}= \frac{1}{2}\sqrt{3}$ y $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ obtenemos

$$ 3\cos x+5\cos \left( x-\frac{\pi }{6}\right) =\left( 3+\frac{5}{2}\sqrt{3} \right) \cos x+\frac{5}{2}\sin x. $$ La identidad general $$ \begin{eqnarray*} A\cos x+B\sin x &=&C\sin (x+\phi ) \\ &=&C\sin \phi \cos x+C\cos \phi \sin x \end{eqnarray*} $$ se mantiene si $C\sin \phi =A$ , $C\cos \phi =B$ es decir $C=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$ y $ \phi =\arctan \frac{A}{B}$ . Para $A=3+\frac{5}{2}\sqrt{3}$ y $B=\frac{5}{2}$ tiene la forma $$ \left( 3+\frac{5}{2}\sqrt{3}\right) \cos x+\frac{5}{2}\sin x=\sqrt{34+15 \sqrt{3}}\sin \left( x+\arctan \left( \frac{6}{5}+\sqrt{3}\right) \right). $$

Para $C>0$ la función $C\sin (x+\phi )\in \left[ -C,C\right] $ . En consecuencia, los mejores límites estrechos son $b=-a=C=\sqrt{34+15\sqrt{3}}$ .