Uso de la fórmula de Stirling para calcular el ratio

Question

Estoy trabajando en esta cuestión:

Para puntos equidistantes $x_j=j, 0\leqslant j\leqslant n$ , $n$ incluso, que $$\omega(x)=(x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n)$$ Utilice la fórmula de Stirling para estimar la relación $$\frac{\omega\left(\frac 12\right)}{\omega\left(\frac{n}{2}+\frac 12\right)}$$ para grandes $n$ . Explicar el fenómeno de Runge.

Hasta ahora me he dado cuenta de que $$\omega(1/2)=\frac12·\left(-\frac12\right)·\left(-\frac32\right)\ldots\left(\frac12-n\right)=(-1)^n2^{-n-1}1·3·5\ldots(2n-1) =(-1)^n2^{-2n-1}\frac{(2n)!}{n!}$$ Ahora, sé que tengo que usar la Fórmula de Stirling. Pero, ¿cómo puedo calcular $\omega\left(\frac{n}{2}+\frac 12\right)$ ¿para encontrar la proporción? ¿Cómo influye el fenómeno de Runge en todo esto?

Answer 1

Utilicemos la notación

$$\omega_q(x) = \prod_{i=0}^q(x-x_i)$$

y tomar el trabajo ya realizado para llegar a

$$\omega_n\left(\frac 12\right)=\frac12·\left(-\frac12\right)·\left(-\frac32\right)\ldots\left(\frac12-n\right)=(-1)^n2^{-n-1}1·3·5\ldots(2n-1)\\ =(-1)^n2^{-2n-1}\frac{(2n)!}{n!}$$

Dado que tenemos $n=2m$ incluso, esto se convierte en

$$\omega_{2m}\left(\frac12\right) = 2^{-4m-1}{(4m)!\over(2m)!}$$

También queremos encontrar el valor de $\omega_n\left(\frac n2+\frac 12\right)$ y este valor es $(\frac n2+\frac 12)(\frac n2-\frac 12)(\frac n2-\frac 32)\cdots(\frac 32)(\frac 12)(-\frac 12)(-\frac 32)\cdots(-\frac n2+\frac 32)(-\frac n2+\frac 12)$

Cabe señalar que los términos $(\frac 12)(\frac 32)\cdots(\frac n2-\frac 12)$ tienen el mismo valor que $\left|\omega_m\left(\frac 12\right)\right|=2^{-2m-1}{(2m)!\over m!}$ y por lo tanto tenemos

$$\omega_n\left(\frac n2+\frac 12\right) = (-1)^m\left(\omega_m\left(\frac 12\right)\right)^2\left(\frac n2+\frac 12\right)\\ =(-1)^{m}2^{-4m-2}\left({(2m)!\over m!}\right)^2\left(m+\frac 12\right)$$

Esto nos lleva a concluir

$${\omega_n\left(\frac 12\right)\over\omega_n\left(\frac n2+\frac 12\right)}={2^{-4m-1}{(4m)!\over(2m)!}\over (-1)^{m}2^{-4m-2}\left({(2m)!\over m!}\right)^2\left(m+\frac 12\right)}\\ =(-1)^{m}{(4m)!(m!)^2\over 2((2m)!)^3\left(m+\frac 12\right)}$$

El siguiente paso sería probablemente utilizar una aproximación para $(2k)!\over k!k!$ en un par de puntos y ver cuál es la proporción. Si $n=4$ esto se convierte en $-1\cdot {8!4\over 2\cdot 64\cdot 27\cdot 8\frac 52}=-{8!\over 128\cdot 27\cdot 5}=-{7\over 3}\lt -2$ y es razonable esperar que este ratio aumente en valor absoluto. En comparación, si $n=2$ obtenemos el resultado $1$ .