Integrales, polinomio conjugado, insertar e^(it) inversa de la curva

Question

Hice el intento de resolver estas cuestiones de edad de exámenes, el primero que yo podría hacer, si son correctos o no, no sé, y el siguiente, estoy seguro de que me levanté con el pie equivocado, para empezar:

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1. Calcular a) $\int_{\partial B_{r}(0)} \overline{z} dz$; b) $\int_{\partial B_{r}(0)}Re(z)dz$
2. Probar que : si p es el polinomio y, a continuación, $\int_{\partial B_{r}(0)} \overline{p(z)}dz = 2\pi r^{2}\overline{p'(0)} $
3. Probar que : $\int_{\partial B_{1}(0)}f(z)dz = \int_{\partial B_{1}(0) }f(\frac{1}{z})\frac{dz}{z^{2}}$

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1. a) he utilizado este parametrización : $re^{it}, t\in [0,2\pi]$ y obtiene las siguientes $\int_{0}^{2\pi}re^{-it} ire^{it}dt = ir^{2}\int_{0}^{2\pi}1dt = 2\pi ir^{2} $ b) $\int_{0}^{2\pi} Re( re^{it}) dz = \int_{0}^{2\pi} rcos(t) ire^{it}dt = ir^{2}\int_{0}^{2\pi}cos(t)e^{it}dt = 2\pi ir^{2}$
2. Me puse de p como polinomio de grado n : $z^{n}+z^{n-1}...+z_{0}$, entonces si se inserte la configuración de parámetros, se obtiene: $\int_{0}^{2\pi} \overline{(r^{n}e^{nit}+r^{n-1}e^{(n-1)it}+...+z_{0}})(ire^{it})dt$ $= ir\int_{0}^{2\pi}(r^{n}e^{(-n+1)it}+r^{n-1}e^{(-n-1+1)it} + r^{n-2}e^{(-n-1)it}+... \overline{z_{0}})dt$

$=ir\int_{0}^{2\pi}r^{n}e^{(-n+1)it}dt + ir\int_{0}^{2\pi} r^{n-1}e^{-nit}dt ... + ir\int_{0}^{2 \pi}\overline{z_{0}}dt $

3 ) $\int_{\partial B_{1}(0)}f(z)dz = \int_{0}^{2\pi}f(e^{it})ie^{it}dt$, a continuación, inserte aquí algo y $ =\int_{0}^{2\pi} f(e^{-it})e^{-2it}ie^{it}dt = \int_{\partial B_{1}(0)}f(z^{-1})z^{-2}dz$

Cómo completar las partes que faltan? Son mis comienzos OK? Estaría muy contento si alguien podría ayudarme . Gracias por todo su esfuerzo.

(Lo siento si es un poco mucho a la vez. )

Answer 1

No hay ninguna razón por qué usted no debe ser capaz de utilizar su método, en principio. Sin embargo, creo que están haciendo la vida muy difícil para ti, volviendo de nuevo a la integración real en lugar de utilizar la magia de los números complejos!

Recordemos que $z\bar{z}=|z|^2$. Así que usted puede escribir $\bar{z}=|z|^2/z$, y el uso de lo que usted ya debe saber acerca de $$\int_{\partial B_r(0)} z^m dz$$ (donde $m\in\mathbb{Z}$) para evaluar $$\int_{\partial B_r(0)} \bar{z}^{-m} dz.$$ Esto le permitirá resolver 1a) y 2. (Tenga en cuenta que, en su respuesta, usted tiene un factor adicional de $2$ que no debería estar allí.)

Para 1b), sólo recuerda que $z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z)$.

Por último, para los 3., considere la posibilidad de la transformación de $w=1/z$. A continuación,$dw=-dz/z^2$, y que esta transformación tiene el círculo unidad $\partial B_1(0)$$\overline{\partial B_1(0)}$, por lo cual me refiero a la unidad de círculo atravesado en la orientación negativa. Así

$$\int_{\partial B_1(0)} f(w)dw = \int_{\overline{\partial B_1(0)}} -f(1/z) \frac{dz}{z^2} = \int_{\partial B_1(0)} f(1/z) \frac{dz}{z^2}.$$

Por supuesto, para formalizar esto, que podría ser en realidad más fácil de usar su parametrización. Para ello, sólo tiene que utilizar la transformación de $t=2\pi -u$: $$\int_{0}^{2\pi} f(e^{es})i e^{es}dt = \int_{2\pi}^0 f(e^{ui}), es decir^{ui}(-du) = \int_0^{2\pi} f(e^{ui}), es decir^{ui}du.$$