¿Hay una buena prueba de que todos los polinomios en esta familia son irreductibles?

Question

La escritura de las pocas líneas más abajo en PARI/GP, uno fácilmente se comprueba que los polinomios

$$(X^3-4019680)-(a_2X^2+a_1X+a_0)$$

son todos irreductible $\mathbb Z$ al $a_0,a_1$ $a_2$ son enteros entre el$0$$20$. Hay un equipo libre (o, más reveladora) prueba de este hecho ?

ff3(a2,a1,a0)=1-polisirreducible(x^3-(a2*x+a1*x+4019680+a0))

vv1=vector(21^3,k,7)

para(a2=0,20,por(a1=0,20,para(a0=0,20, vv1[(21^2)*a2+21*a1+a0+1]=ff3(a2,a1,a0);););)

check=suma(k=1,length(vv1),vv1[k])

Answer 1

Sketch. Debido a que el término constante es tan grande con respecto a los otros términos, es posible entero raíces de un polinomio encuentran en el relativamente pequeño intervalo de $[160, 165]$ más a la derecha del origen. El hecho de que $X_0$ es una raíz que es equivalente a $4019680$ tener una representación en base $X_0$, con grandes coeficientes, y por la escritura $4019680$ en las correspondientes bases vemos que no tiene este tipo de representaciones.

Prueba. Reducibilidad es equivalente a la existencia de una raíz entera. Por inspección, el polinomio puede tener a lo sumo una raíz real $X_0$, en algún lugar del pasado $\sqrt[3]{4019680} = 159.0000131...$. Mediante el establecimiento $a_0 = a_1 = a_2 = 20$ podemos comprobar numéricamente que $X_0 < 166$, por lo que la única posible raíces se $X_0 = 160, 161, 162, 163, 164, 165$. Alguna raíz entera debe dividir el término constante, pero: $$4019680 \equiv 0 \bmod 160$$ $$4019680 \equiv 154 \bmod 161$$ $$4019680 \equiv 136 \bmod 162$$ $$4019680 \equiv 100 \bmod 163$$ $$4019680 \equiv 40 \bmod 164$$ $$4019680 \equiv 115 \bmod 165.$$

Desde $0 \le a_0 \le 20$, es imposible para $X_0$ a dividir el término constante a menos que $X_0 = 160, a_0 = 0$ o $X_0 = 161, a_0 = 7$. En cualquier caso, después de dividir por $X_0$, $X_0$ debe dividir los nuevos términos constantes, que se $-(25123+a_1), -(24967+a_1)$ respectivamente. Pero $$25123 \equiv 3 \bmod 160$$ $$24967 \equiv 12 \bmod 161$$

y otra vez desde $0 \le a_1 \le 20$, esto es imposible.

Answer 2

Si está realmente interesado solo en$0 \leq a_i \leq 20$, escriba el polinoma como producto de dos polinomas de grado 1 y 2 con coeficientes desconocidos:

$(A x^2 + B x + C)(Dx + E) = ADx^3 + (BD+AE)x^2+(BE+CD)x+CE$

Si lo hice correctamente, esto da como resultado cualquier B, C, E:

• $E \cdot C = a_0 - 4019680$
• $C + B\cdot E = a_1$
• $E+B = a_2$

Pero estas determinaciones no son solucionables para$0 \leq a_i \leq 20$.