Dada la función $f(x)= \frac {1}{ \sqrt [3] {1-x^3}}$ encontrar $ \underbrace {f(f( \cdots f(19) \cdots ))}_{95}$

Question

Dada la función $$f(x)= \frac {1}{ \sqrt [3] {1-x^3}}$$ encontrar $$ \underbrace {f(f( \cdots f(19) \cdots ))}_{95}$$

Mi intento:

Defina $$f^n(x)= \underbrace {f(f( \cdots f(x) \cdots ))}_{n}$$

Vemos que $$f(x)= \frac {1}{ \sqrt [3] {1-x^3}}$$

$$f^2(x)= \frac { \sqrt [3] {1-x^3}}{-x}$$

$$f^3(x)=x$$

Y otra vez $$f^4(x)= \frac {1}{ \sqrt [3] {1-x^3}}$$

Por lo tanto $$f^{3k+2}(x)= \frac { \sqrt [3] {1-x^3}}{-x}$$

En sustitución de $k=31$ y $x=19$ Puedo encontrar $$ \underbrace {f(f( \cdots f(19) \cdots ))}_{95}$$

Así que voy por el camino correcto.

Answer 1

Como ya has dicho, sólo hay 3 interacciones, luego vuelve a la función original: \begin {alinear} f_0 = \underbrace {f(x)}_1&= \frac {1}{ \sqrt [3] {1-x^3}} = \left ( \frac {1}{1-x^3} \right )^{ \frac {1}{3}} \\ f_1 = \underbrace {f(f(x))}_2&= \left ( \frac {1}{1- \left ( \frac {1}{1-x^3} \right )} \right )^{ \frac {1}{3}} = \left (1 - \frac1 {x^3} \right )^{ \frac {1}{3}} \\ f_2 = \underbrace {f(f(f(x)))} }_3 &= \left ( \frac {1}{1- \left (1 - \frac1 {x^3} \right )} \right )^{ \frac {1}{3}} = x \end {alinear} Si cuentas desde $0$ así que es el $95$ -la interacción es igual a $f_{94}$ . Sigue $94 \pmod 3 = 1$ lo que implica $f_{94} = f_1$ : $$ \underbrace {f(f( \cdots f(19) \cdots ))}_{95} = f_{94} = f_1 = \left (1 - \frac1 {19^3} \right )^{ \frac {1}{3}} $$