¿Cuáles son las operaciones inversas de la "derivada parcial" y la "derivada total"?

Question

Si una función univariante como $f(x)$ es diferenciable, denotamos su derivada por $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)$ y su integral por $\int f(x)\mathrm{d} x$ . Si la función resulta ser multivariable, denotamos su "derivada parcial" por $\frac{\partial }{\partial x_i}f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)$ y su derivada total por $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x_i}f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)$ .

Esta es mi pregunta:

¿Cuáles son las operaciones inversas de la "Derivada parcial" y la "Derivada total" de una función multivariante? ¿Existe la "Integral Parcial" o la "Integral Total" de una función multivariante? Y si esto es cierto, ¿cómo llamamos a dichas "Integral Parcial" e "Integral Total" de una función multivariante, y cuáles son las notaciones acordadas para ellas?

Answer 1

Supongamos por el momento que $x$ , $y$ , $z$ son variables independientes tales que $(x,y,z)$ se encuentra en un conjunto convexo abierto de ${\mathbb R}^3$ .

${\bf 1.\ }$ Si se le da una función $(x,y,z)\mapsto f(x,y,z)$ entonces el integral indefinida $$\int f(x,y,z)\>dx\tag{1}$$ denota el conjunto de todas las funciones $(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)$ que satisface la condición (o PDE) $${\partial F\over\partial x}(x,y,z)=f(x,y,z)\ .\tag{2}$$ Si $F_0$ es una solución de $(2)$ , encontrada mediante conjeturas o integrando formalmente $(1)$ con respecto a $x$ entonces la solución general de $(2)$ viene dada por $$F(x,y,z)=F_0(x,y,z)+G(y,z)\ ,$$ por lo que $G$ es una función arbitraria (suficientemente suave) de sus variables $y$ y $z$ .

${\bf 2.\ }$ Si $(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)$ es una función escalar, entonces ${d\over dx}F(x,y,z)$ no tiene sentido. Existe la derivado o diferencial $dF(x,y,z)$ de $f$ que es para cada ${\bf p}=(x,y,z)$ en el ámbito de $F$ un funcional lineal en el espacio tangente $T_{\bf p}$ . La representación geométrica de este funcional es el vector gradiente $$\nabla F({\bf p})=\left({\partial F\over\partial x},{\partial F\over\partial y},{\partial F\over\partial z}\right)_{\bf p}\ .$$ Tenga en cuenta que $(x,y,z)\mapsto \nabla F(x,y,z)$ constituye un campo vectorial en el dominio en cuestión.

${\bf 3.}\ $ Invertir la operación de tomar el vector gradiente significa encontrar para un campo vectorial dado $${\bf f}(x,y,z)=\bigl(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\bigr)$$ una función escalar $F$ tal que $$\nabla F(x,y,z)={\bf f}(x,y,z)\ .\tag{3}$$ Esto no siempre es posible. Una condición necesaria es que ${\rm curl}({\bf f})\equiv{\bf 0}$ . Si se cumple esta condición, se puede encontrar un $F$ satisfaciendo $(3)$ bien mediante un esquema recursivo ("integrales anidadas") que implique el problema descrito en ${\bf 1}$ o calculando las integrales de línea como se indica a continuación: $$F({\bf p})=F({\bf 0})+\int_{\bf 0}^{\bf p}{\bf f}({\bf x})\cdot d{\bf x}\ ,$$ por lo que $F({\bf 0})$ es arbitraria.

${\bf 4.\ }$ Una "función $f\bigl(x,y(x)\bigr)$ ", donde $x\mapsto y(x)$ está en principio dada es una función $$\phi(x):=f\bigl(x,y(x)\bigr)$$ de una variable $x$ y se aplican las reglas habituales del Cálculo 101 más la regla de la cadena multivariable. Por ejemplo, $$\phi'(x)=f_{.1}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot 1+f_{.2}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot y'(x)\ ,$$ y $$\int f\bigl(x,y(x)\bigr)\>dx=\Phi(x)+C\ ,$$ por lo que $\Phi'(x)=\phi(x)$ .

Answer 2

Dejemos que $f: \mathbb{R^n} \longrightarrow \mathbb{R^p}$ Obviamente se puede encontrar alguna integral que involucre la función $f$ en el que se quiere considerar sólo algunos de los $(x_1, \cdots, x_n)$ y si ese es el caso, se supone que el $x_i$ que no se utilizan son constantes.

Por ejemplo, dejemos $f(x, y, z) = xyz$ . Es posible que quiera integrar $f$ con respecto a $x$ con $x$ de $0$ a $a$ mientras se mantiene $y, z$ constante en, digamos, $1$ . Entonces quiero calcular

$$\int_{0}^{a} xyz\ dx = yz\int_{0}^a x\ dx = \frac{a^2}{2}yz = \frac{a^2}{2}$$

También se puede tratar de encontrar una función $F$ tal que $F\prime = f$ y alguna función tal que $\frac{\partial F}{\partial x_i} = f$ y si se le da la función $f$ , eso significaría que estarías encontrando un "global" primitivo de $f$ o una primitiva parcial (con respecto a $x_i$ ) de $f$ y, por tanto, esas operaciones están bien definidas.

Por ejemplo, encontrar $F$ tal que $\frac{\partial F}{\partial x} = xyz$ significaría encontrar la primitiva con respecto a $x$ y en este caso es $F = \frac{x^2yz}{2}$

Si quiere encontrar $F$ tal que $F\prime = f$ se supone que las funciones de coordenadas de $f$ son las derivadas parciales de $F$ integrar cada uno de ellos, y tratar de "pegamento" los que están juntos.

Diga $f(x, y) = (x^2, y^2)$ . Entonces esto significa $\frac{\partial F}{\partial x} = x^2$ , $\frac{\partial F}{\partial y} = y^2$ . Integrando ambos con respecto a la variable correcta se obtiene

$$\frac{\partial F}{\partial x} = x^2 \iff F = \frac{x^3}{3} + \omega_1(y)$$ para alguna función $\omega_1$ que depende sólo de $y$ .

$$\frac{\partial F}{\partial y} = y^2 \iff F = \frac{y^3}{3} + \omega_2(x)$$ para alguna función $\omega_2$ que depende sólo de $x$ .

Pegando todo se obtiene

$$\frac{y^3}{3} + \omega_2(x) = \frac{x^3}{3} + \omega_1(y) \iff \omega_1(y) = \frac{y^3}{3} \wedge \omega_2(x) = \frac{x^3}{3} \rightarrow F(x, y) = \frac{x^3}{3} + \frac{y^3}{3}$$

y conseguir que

$$\nabla F = f$$ (Por favor, tenga en cuenta que sólo estoy diciendo que puede realizar dichas operaciones, no te doy ninguna nomenclatura para ellas)

Answer 3

Nunca he oído hablar de las ecuaciones integrales parciales en las que

$$ \int f(x,y) dx$$

se define manteniendo $y$ constante. La constante arbitraria de integración sería un obstáculo quizás en los intentos de definirla.

Answer 4

Se puede interpretar la inversa de una operación como la resolución de una ecuación (por ejemplo, la inversa de $x \mapsto x^2$ está resolviendo $x^2 = a$ ) y aplicar esto a la diferenciación de funciones en $\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ (o a generalizaciones más amplias - por ejemplo $\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ - a costa de tener que ocuparse de más detalles).

Inversa de la diferenciación parcial

La inversa de la diferenciación parcial $f \mapsto \frac {\partial f} {\partial x_i}$ de funciones en $\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ es resolver la ecuación

$$\frac {\partial f} {\partial x_i} = f_{x_i} \tag 1$$

para $f$ , dado $f_{x_i}: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ . A pesar de la notación en el LHS, se puede tratar (1) esencialmente como un primer orden ordinario ecuación diferencial, ya que cada $x_{j \ne i}$ se trata como una constante, por lo tanto, con el fin de resolver la ecuación, $f_{x_i}$ y $f$ pueden tratarse como funciones univariantes parametrizadas.

Como (cualquiera o todas) las soluciones del caso univariante, si es que existen, se denotan casualmente por el integral indefinida $\int f(x) dx$ se puede tener la tentación de (re/ab-) utilizar también la misma notación para las soluciones de (1) y escribir $\int f(\mathbf x) dx_i$ aunque cualquier uso de este tipo fuera de contexto es cuestionable. Las antiderivadas de una función univariante se diferencian por una constante simple, que resulta ser mayormente irrelevante donde se utilizan, por lo que mantenerlas todas juntas bajo la integral indefinida es conveniente y mayormente inofensivo. En cambio, las soluciones de (1) en general diferirán en

$$g(\mathbf x) = h(x_1, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ..., x_n)$$

donde $h$ es sólo cualquier función en $\mathbb{R^{n - 1}} \to \mathbb{R}$ .

Inverso de la "diferenciación total"

Definiendo la diferenciación total como la asignación de una función a su derivada total, es decir

$$f: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R} \quad \mapsto \quad \frac {df} {dx_i} = \sum {\frac {\partial f} {\partial x_j} \frac {dx_j} {dx_i}}$$

entonces su inversa es resolver la ecuación

$$\sum {\frac {\partial f} {\partial x_j} \frac {dx_j} {dx_i}} = f_{x_i} \tag 2$$

para $f$ , dado $f_{x_i}: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ y cada uno de $\frac {dx_j} {dx_i} : \mathbb R \to \mathbb R$ para $j \ne i$ . Tenga en cuenta que cuando $\frac {dx_j} {dx_i} = 0$ para todos $j \ne i$ que puede considerarse como una forma (bastante ambigua) de afirmar que $x_j$ y $x_i$ son independientes, entonces (2) se reduce a (1).

Se trata de un primer orden parcial ecuación diferencial, y no existe una notación estándar para sus soluciones, posiblemente debido a que su espacio de soluciones es aún menos ordenado que el de (1), y por lo tanto es aún menos probable que sea de alguna utilidad cuando se considera como un todo, bajo un único denominador. 1

Una familia de implícito Las soluciones de (2) de cierta forma son comúnmente 2 referido como su integral completa para el que tampoco existe una notación estándar.

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_{¹Otra explicación plausible puede ser que las EDP en general se consideran un zoológico real de primera clase, mal entendido excepto en un puñado de casos especiales, y normalmente se evita a toda costa.}

_{²En la medida en que <em>comúnmente </em>se aplica en contextos relacionados con la PDE.}