Supongamos por el momento que x , y , z son variables independientes tales que (x,y,z) se encuentra en un conjunto convexo abierto de R3 .
1. Si se le da una función (x,y,z)↦f(x,y,z) entonces el integral indefinida ∫f(x,y,z)dx denota el conjunto de todas las funciones (x,y,z)↦F(x,y,z) que satisface la condición (o PDE) ∂F∂x(x,y,z)=f(x,y,z) . Si F0 es una solución de (2) , encontrada mediante conjeturas o integrando formalmente (1) con respecto a x entonces la solución general de (2) viene dada por F(x,y,z)=F0(x,y,z)+G(y,z) , por lo que G es una función arbitraria (suficientemente suave) de sus variables y y z .
2. Si (x,y,z)↦F(x,y,z) es una función escalar, entonces ddxF(x,y,z) no tiene sentido. Existe la derivado o diferencial dF(x,y,z) de f que es para cada p=(x,y,z) en el ámbito de F un funcional lineal en el espacio tangente Tp . La representación geométrica de este funcional es el vector gradiente ∇F(p)=(∂F∂x,∂F∂y,∂F∂z)p . Tenga en cuenta que (x,y,z)↦∇F(x,y,z) constituye un campo vectorial en el dominio en cuestión.
3. Invertir la operación de tomar el vector gradiente significa encontrar para un campo vectorial dado f(x,y,z)=(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)) una función escalar F tal que ∇F(x,y,z)=f(x,y,z) . Esto no siempre es posible. Una condición necesaria es que curl(f)≡0 . Si se cumple esta condición, se puede encontrar un F satisfaciendo (3) bien mediante un esquema recursivo ("integrales anidadas") que implique el problema descrito en 1 o calculando las integrales de línea como se indica a continuación: F(p)=F(0)+∫p0f(x)⋅dx , por lo que F(0) es arbitraria.
4. Una "función f(x,y(x)) ", donde x↦y(x) está en principio dada es una función ϕ(x):=f(x,y(x)) de una variable x y se aplican las reglas habituales del Cálculo 101 más la regla de la cadena multivariable. Por ejemplo, ϕ′(x)=f.1(x,y(x))⋅1+f.2(x,y(x))⋅y′(x) , y ∫f(x,y(x))dx=Φ(x)+C , por lo que Φ′(x)=ϕ(x) .
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/606679/ es.wikipedia.org/wiki/
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@Programmer2134: El quid de la cuestión, en mi opinión, es muy fundamental, en la línea de "qué hacen x y y que no recibe un tratamiento satisfactorio (o, en realidad, no se le presta mucha atención) en el contexto del lenguaje aprendido en el cálculo introductorio. Las derivadas y las integrales, sobre todo en el cálculo multivariable, son el primer momento en que esta deficiencia empieza a causar grandes problemas para la mayoría de la gente.