Cuántos números$3$ dígitos con dígitos$a$,$b$ y$c$ tienen$a=b+c$

Question

Mi pregunta es simple de formular pero (aparentemente) difícil de responder. Cuántos números de$3$ dígito existen, de modo que$1$ dígito es la suma de los otros$2$. No tengo idea de cómo calcular este número, pero espero que haya una forma sencilla de calcularlo. Gracias de antemano.

EDITAR: El primer dígito no debe ser$0$

Answer 1

Parametrizar los números por $\overline {abc}$.

Tenemos tres casos, uno cuando el primer dígito es igual a la suma de los otros dos. La segunda, cuando el segundo dígito es igual a la suma de los otros dos, y así sucesivamente...

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Caso I

$\overline {abc}$, $a=b+c$

al $b$ es $0$, $c$ puede ser $\{1,2,...,9\}$

al $b$ es $1$, $c$ puede ser $\{0,1,2,3,...,8\}$ y así sucesivamente...

$9+9+8+...+1=55-1=54$

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Caso II

$\overline {bac}$, $a=b+c$

al $b$ es $1$, $c$ puede ser $\{0,1,...,8\}$

al $b$ es $2$, $c$ puede ser $\{0,1,...,7\}$ y así sucesivamente...

Ahora, hemos agregado algunos números de aquí que también hemos añadido en el caso anterior. Es decir, aquellos para los cuales $b=a+c$ es cierto. Ya que hemos añadido en este caso $b=a-c$ también es válido, por lo $c$ debe ser $0$. $c$ es $0$ sólo al$b$$\{1,2,...,9\}$. Así que la respuesta final para este caso es $45-9=36$.

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Caso III

$\overline {bca}$, $a=b+c$

al $b$ es $1$, $c$ puede ser $\{0,1,...,8\}$

al $b$ es $2$, $c$ puede ser $\{0,1,...,7\}$ y así sucesivamente..

Aquí hemos agregado de nuevo algunos de los números, es decir, para que $b$ es igual a $a+c$, en el paso uno. Tenga en cuenta que nosotros no agregar cualquiera de los números que hemos añadido en el caso de $2$, ya que para esos números, tendríamos $c=b+a$(a partir de casos $2$) y también se $c=a-b$(de paso $3$). Que haría $b$ $0$.(y no nos cuentan que).

Así, la respuesta final es $45-9=36$, para este caso.

En total, se han $126$ números con esa propiedad.

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Esos números son: $$\begin{array}{|c|} \hline 101& 110& 112& 121& 123& 132& 134& 143& 145& 154& 156& 165& 167& 176& 178& 187&\\\hline 189& 198& 202& 211& 213& 220& 224& 231& 235& 242& 246& 253& 257& 264& 268& 275&\\\hline 279& 286& 297& 303& 312& 314& 321& 325& 330& 336& 341& 347& 352& 358& 363& 369&\\\hline 374& 385& 396& 404& 413& 415& 422& 426& 431& 437& 440& 448& 451& 459& 462& 473&\\\hline 484& 495& 505& 514& 516& 523& 527& 532& 538& 541& 549& 550& 561& 572& 583& 594&\\\hline 606& 615& 617& 624& 628& 633& 639& 642& 651& 660& 671& 682& 693& 707& 716& 718&\\\hline 725& 729& 734& 743& 752& 761& 770& 781& 792& 808& 817& 819& 826& 835& 844& 853&\\\hline 862& 871& 880& 891& 909& 918& 927& 936& 945& 954& 963& 972& 981& 990&\\\hline \end{array} $$

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For verification, the code is:

 #include<iostream> 

 using namespace std;

 int main() {
         int q=0;
         for(int a=1;a<=9;a++)
             for(int b=0;b<=9;b++)
                 for(int c=0;c<=9;c++)
                         if(a==b+c || b==a+c || c==a+b)

{q++;cout<<a<<b<<c<<"\n";}

 cout<<q; return 0; }

This, in case you do not allow $2 dígitos$ or $1 dígito$ números.

Answer 2

Un dígito ($a$) será al menos tan grandes o más grandes que los otros dos dígitos ($b, c$). Para cada combinación de $a$ $b$ sólo puede haber un valor de $c$.

Otro restaint es que el primer dígito no puede ser 0, por lo que debemos considerar la colocación de las más grandes dígitos.

Si el primer dígito es el más grande, entonces debemos contar todos los pares de de $a\in\{1,\ldots,9\}$$b\in\{0,\ldots, a\}$.

Si el mayor dígito es el segundo o tercer dígito entonces, como ya hemos contado todos los casos cuando es igual a otro dígito, debemos contar todos los pares de $b\in\{1,\ldots,8\}$$a\in\{b+1,\ldots, 9\}$, dos veces (para las dos ubicaciones).

El recuento total de, entonces es: $$\begin{align} & =\sum\limits_{a=1}^9 \sum\limits_{b=0}^a 1 + 2\times \sum\limits_{b=1}^8 \sum\limits_{a-b=1}^{9-b} 1 \\ & = \sum\limits_{a=1}^9 (a+1) + 2\times \sum\limits_{b=1}^8 (9-b) \\ & = \tfrac{9(9+1)}{2} + 9 + 2(9\cdot 8 -\tfrac{8(8+1)}{2}) \\ & = 126 \end{align}$$

Answer 3

Varios casos son: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline (a,b,c)|a+b=c&\text{total numbers}\\\hline (1,1,2),(2,2,4),...(4,4,8)&3!/2!\times4\\\hline (1,2,3)\text{ to }(1,8,9)&3!\times7\\ (2,3,5)\text{ to }(2,7,9)&3!\times5\\ (3,4,7)\text{ to }(3,6,9)&3!\times3\\ (4,5,9)&3!\times1\\\hline (1,0,1)\text{ to }(9,0,9)&2\times9\\\hline \end {array} $$ Formas totales:$$3!/2!\times4+3!\times(1+3+5+7)+2\times9=12+6\times4^2+18=126$ $

Answer 4

Mi respuesta es similar a la de @disparo de ardilla. Edit: Ahora se da la misma respuesta, errores tontos :D

Considerar el número de $\overline{abc}$, tenemos tres casos:

Caso 1: $a=b+c$ ,$a$$1,\dots,9$. Ahora, para cada valor de $a$, $a+1$ valores de $b$: $0,1,\dots, a$. Cada uno de los cuales da un número. El Total de números en este caso es $$\sum^{9}_{a=1}(a+1)= \frac{(10+2)\cdot 9}{2}=54.$$

Caso 2: $b=a+c$. Desde $b\ge a$, $b$ sólo puede ser $1,\dots,9$. Para cada una de las $b$, $b-1$ valores de $a$: $1,\dots, b-1$. ($a=b$ se contó en el Caso 1).

Cada uno de los cuales da un número. Número Total en este caso es $$\sum^9_{b=1}(b-1)=\frac{8\cdot 9}{2}=36.$$

Caso 3: $c=a+b$. Este caso es similar al Caso 2, con $c$ desempeña el papel de $b$. Así que tenemos $36$ números en el Caso 3.

Total: Caso 1 + Caso + De 2 Caso 3 = $54+36+36=\color{red}{\mathbf{126}}$ números.

Answer 5

Suponiendo un dígito es un elemento de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ tenemos tres casos para $a,b,c$ ver:

1. $a=b=c=0$. Todo es fácil aquí, los rendimientos de la $1$ combinación.
2. $b=c\ne 0$. $a=2b$, por lo $b<5$ dándonos $4$ opciones (dígitos $1$$4$). La posición de $a$ únicamente determina el código, a fin de multiplicar b $3$ conseguir $4\cdot 3 = 12$ combinaciones
3. $b\ne c$. Asumimos $a\ge b>c$ y eligió $c$ primera. Desde $b+c < 10$ y $c<b$ $a \ge 2c$ por lo $c\le 4$. $$\begin{align*} c=4 & \Rightarrow b=5, a=9 & 1\\ c=3 & \Rightarrow b\in\{4,5,6\} & 3\\ c=2 & \Rightarrow b\in\{3,4,5,6,7\} & 5\\ c=1 & \Rightarrow b\in\{2,\ldots, 8\} & 7\\ c=0 & \Rightarrow b\in\{1,\ldots, 9\} & 9 (\text{only %#%#% distinct digits here}) \end{align*}$$ un total $2$ combinaciones, a veces $16+9$ para todos, pero el $3! = 6$ obtenemos $9$

En resumen hemos $16\cdot 6 + 9 \cdot 3 = 123$ posibilidades.