Demostrar que $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ .

Question

Dejemos que $f$ sea una función de valor real continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ .
Supongamos que $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe.
Entonces, demuestre que $f$ es diferenciable en $a$ y $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ .

Parece un ejemplo fácil, pero un poco complicado.
No estoy seguro de qué teoremas deberían usarse aquí.

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Usando los consejos de @David Mitra y las notas de @Pete L. Clark
He intentado resolver esta prueba. Quiero saber si mi prueba es correcta o no.

Por MVT, para $h>0$ y $c_h \in (a,a+h)$ $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(c_h)$$
y $\lim_{h \rightarrow 0^+}c_h=a$ .

Entonces $$\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0^+}f'(c_h)=\lim_{h \rightarrow 0^+}f'(a)$$

¿Pero eso es suficiente? Creo que debería mostrar algo más, pero no sé qué es.

Answer 1

Algunas pistas:

Utilizando la definición de derivada, tienes que demostrar que $$ \lim_{h\rightarrow 0^+} {f(a+h)-f(a)\over h } $$ existe y es igual a $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f'(x)$ .

Tenga en cuenta que para $h>0$ el Teorema del Valor Medio proporciona un punto $c_h$ con $a<c_h<a+h$ tal que $$ {f(a+h)-f(a)\over h } =f'(c_h). $$

Por último, hay que tener en cuenta que $c_h\rightarrow a^+$ como $h\rightarrow0^+$ .

Answer 2

El resultado es esencialmente el Teorema 5.29 de mis apuntes de cálculo con honores . Como mencioné, aprendí este resultado de la obra de Spivak Cálculo . Digo "esencialmente" porque la versión discutida en mis notas es para un punto interior de un intervalo mientras que tu versión es en un punto final, pero para demostrar la versión de dos lados sólo tienes que hacer un argumento de un lado dos veces, así que es realmente lo mismo.

[Y David Mitra tiene razón: la prueba utiliza el Teorema del Valor Medio y no mucho más].

Añadido : Ya que estamos hablando de este resultado de todos modos: aunque lo llamo "teorema de Spivak", esto no es del todo serio -- el resultado es presumiblemente mucho más antiguo que Michael Spivak. Sólo estoy identificando mi fuente (probablemente secundaria). Si alguien conoce una fuente primaria, me encantaría escucharla.

También es interesante preguntarse para qué se utiliza este resultado. En mis notas no se utiliza para nada, sino que es sólo una curiosidad. Creo que Spivak sí lo utiliza para algo, aunque en este momento olvido para qué. Además, un colega mío me llamó la atención sobre este resultado en el contexto de, creo, el Teorema de Taylor. ¿Alguien sabe de otras aplicaciones?

Answer 3

Hay que demostrar que el límite $$ \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ existe y es igual a $\,L=\lim_{x\to a^+}{f'(x)}$ .

Dejemos que $\varepsilon>0$ . Tenemos que encontrar un $\delta>0$ , de tal manera que $$ 0<h<\delta\quad\Longrightarrow\quad \left|\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\,\right|<\varepsilon. $$ Para ello $\,\varepsilon>0,\,$ existe un $\delta>0$ , de tal manera que
$$ 0<h<\delta\quad\Longrightarrow\quad \left|\,\,f'(a+h)-L\,\right|<\varepsilon. $$ Al mismo tiempo, por cada $h\in (0,\delta)$ según el teorema del valor medio, existe a $c_h\in (0,1)$ , de tal manera que $$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f(a+\vartheta_h h), $$ y por lo tanto $$ \left|\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\,\right|=\left|\,f'(a+\vartheta_h h)-L\,\right| <\varepsilon. $$ La última desigualdad se mantiene ya que $0<\vartheta_h h<h<\delta$ .

Answer 4

Aplicando La regla de L'Hospital rendimientos: $ \lim_{x \to a} \,(f(x) - f(a)) \mathbin{/} (x - a) = \lim_{x \to a} f'(x) $ .

Así, la supuesta existencia de $\lim_{x \to a} f'(x)$ demuestra que la derivada de $f(x)$ en $x = a$ existe y es igual a $\lim_{x \to a} f'(x)$ .

Answer 5

Una versión diferente de la pregunta:

dejar $f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}$ sea una función diferenciable en $(a,b)$ excepto un punto $x_{0}\in(a,b)$ donde no sabemos si $f$ es diferenciable en.

dejar $lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)=L\in\mathbb{R}$ .

probar: $f$ es diferenciable en $x=x_{0}$ y $f'(x_{0})=L$ .

de acuerdo con el término de darbouex, la derivada sólo podría tener un punto de discontinuidad del tipo "discontinuidad removible"

donde $lim_{x\longrightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\stackrel{\color{red}{**}}{\color{black}{\neq}} lim_{x\longrightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ . por lo tanto, voy a preformar una prueba de contradicción.

Supongamos que $lim_{x\longrightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\neq lim_{x\longrightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ para que $f$ no es diferenciable en $x_{0}$ .

usando el termo de darbouex, dejemos $f'(a)$ sea la derivada de $f$ a la derecha de $a$ ;

$$lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= f'(a) , lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(x)-f(b)}{x-b} = f'(b)$$ y que $$ f'(x_{1}) = lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-b} , f'(x_{2}) = lim_{x\longrightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$$ .

en el intervalo de $(a,x_{0})$ donde $f$ es diferenciable, para cada $y_{1}$ como $y_{1} $ está entre $f'(a)$ y $f'(x_{1}):$ existe $t_{1}\in[a,x_{0}]:f'(t_{1})=y_{1}$ .

en el intervalo de $(x_{0},b)$ donde $f$ es diferenciable, para cada $y_{2}$ como $y_{2}$ está entre $f'(x_{2})$ y $f'(b): $ existe $t_{2}\in[x_{0},b]:f'(t_{2})=y_{2}$ .

por lo tanto, según $\color{red}{**}$ $$lim_{t_{1}\longrightarrow x_{0}^{-}}f'(t_{1})\neq lim_{t_{2\longrightarrow}x_{0}^{+}}f'(t_{2})$$ pero eso es una contradicción con el hecho de que $$lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)=L=lim_{t_{1}\longrightarrow x_{0}^{-}}f'(t_{1})\neq lim_{t_{2\longrightarrow}x_{0}^{+}}f'(t_{2})=lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)=L $$ por lo tanto, $f$ es diferenciable en $x_{0}$ y $f'(x_{0})=L$ .