Presentación del Grupo cíclico

Question

Muestran que el grupo con presentación $$\langle x, y\ \mid\ x^2=y^2x^2y,\ (xy^2)^2=yx^2, \ yx^{-1}y^2=x^7\rangle $ $ es cíclico de orden 24.

Esta presentación fue obtenida mediante el proceso de Todd-Coxeter para un subgrupo del índice 2 en el grupo presentado en problema 476854.

Answer 1

$$x^2=y^2x^2y$$

$$x=x^{-1}y^2x^2y=y^{-1}(yx^{-1}y^2)x^2y$$ $$x=y^{-1}x^9y$$

entonces podemos decir;

$$y^2x^2y=x^2=y^{-1}x^{18}y$$ $$y^2x^2=y^{-1}x^{18}$$ $$y^3=x^{16}$$

Ahora, $$(xy^2)^2=yx^2$ $ $$xy^2xy^2=yx^2$ $ $$xy^2x(y^3)=yx^2y=y^3x^2y^2=x^{18}y^2$ $ $$y^2x^{17}=x^{17}y^2$ $ $$y^5x=xy^{5}$ $

Como último paso;

$$x^2=y^2x^2y$$ $$x^{18}=x^2y^3=y^3x^2=(y^5x^2)y=x^2y^6$$ $$x^2y^3=x^2y^6$$ $$e=y^3$$

Por lo tanto, podemos decir que $x,y^2$ conmute entre sí así que voluntad $x,y^4=y$. Y $x=y^{-1}x^9y=x^9\implies x^8=e$. Desde ese punto se puede concluir fácilmente que $G$ es un grupo cíclico de orden $24$.

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N.Q.E.D

Answer 2

Primero nos manipular las relaciones de demostrar que el grupo $G$ definido por la presentación es el producto directo de los $\langle x\rangle\times\langle y\rangle$, $x$ de fin de un divisor de a $8$ $y$ de fin de un divisor de a $3$. Entonces, para mostrar que $x$ $y$ tienen órdenes de $8$ $3$ exactamente, nos presentan un homomorphism de $G$ en un grupo en el que las imágenes de $x$ $y$ tienen los respectivos pedidos.

Vamos a la etiqueta de las relaciones para facilitar la referencia, así: $$x^2 = y^2x^2y;\tag{e1}\label{e1}$$ $$yx^{-1}y^2 = x^7;\tag{e2}\label{e2}$$ $$(xy^2)^2 = yx^2.\tag{e3}\label{e3}$$ De \eqref{e2} obtenemos $$y^2 = xy^{-1}x^7.\tag{e4}\label{e4}$$ El uso de \eqref{e1} y \eqref{e4} se puede deducir la siguiente. $$\begin{align} x^2 &\stackrel{\eqref{e1}}= y^2x^2y \\ &\stackrel{\eqref{e4}}= xy^{-1}x^7x^2y \\ &= xy^{-1}x^9y, \end{align}$$ lo que implica $$x = y^{-1}x^9y \;\;\text{and}\;\; x^{-1} = y^{-1}x^{-9}y.\tag{e5}\label{e5}$$ El uso de \eqref{e5} \eqref{e2}, obtenemos $$x^7 \stackrel{\eqref{e2}}= yx^{-1}y^2 \stackrel{\eqref{e5}}= y(y^{-1}x^{-9}y)y^2 = x^{-9}y^3.\tag{e6}\label{e6}$$ De esto se deduce la relación crucial $$x^{16} = y^3.\tag{e7}\label{e7}$$ En particular, $y^3$ viajes con $x$ (y, por tanto, con sus poderes).

A continuación, use \eqref{e2} y \eqref{e7} de la siguiente manera: $$\begin{align}\tag{e8}\label{e8} x^7y &\stackrel{\eqref{e2}}= yx^{-1}y^3 \\ &\stackrel{\eqref{e7}}= yx^{-1}x^{16} \\ &= yx^{15}. \end{align}$$

Ahora, debido a $y^3$ viajes con $x$, podemos escribir $$x^2y^2 \stackrel{\eqref{e1}}= y^2x^2y^3 = y^5x^2,$$ y después, usando ese $y^3$ viajes con $x^{-1}$ (y \eqref{e2}), obtenemos $$x^7y^{-5} \stackrel{\eqref{e2}}= yx^{-1}y^3 = y^{-2}x^{-1} = (xy^2)^{-1}.$$ Tomando inversos, esto lleva a la $$xy^2 = y^5x^{-7}.\tag{e9}\label{e9}$$ Pero, $$\begin{align} yx^2 &\stackrel{\eqref{e3}}= (xy^2)^2 \\ &\stackrel{\eqref{e9}}= y^5x^{-7}y^5x^{-7} \\ &\stackrel{\eqref{e2}}= y^5(y^{-2}xy^{-1})y^5(y^{-2}xy^{-1}) \\ &=y^3xy^2xy^{-1}; \end{align}$$ de dónde $$x^2 = y^2xy^2xy^{-1} = (y^2x)^2y^{-1}.\tag{e10}\label{e10}$$ Ahora, $$\begin{align} yx^2 &\stackrel{\eqref{e3}}= (xy^2)^2 \\ &\stackrel{\eqref{e9}}= y^5x^{-7}y^5x^{-7} \\ &\stackrel{\eqref{e2}}= y^5(y^{-2}xy^{-1})y^5(y^{-2}xy^{-1}) \\ &= y^3xy^2xy^{-1}, \end{align}$$ así que $$x^2 = y^2xy^2xy^{-1} = (y^2x)^2y^{-1}.\tag{e11}\label{e11}$$ Por lo tanto, $$y^2x^2y \stackrel{\eqref{e1}}= x^2 \stackrel{\eqref{e11}}= (y^2)^2y^{-1},$$ el cual, después de la cancelación de $y^2x$ a la izquierda nos deja con $xy = y^2xy^{-1}$ o, de manera equivalente, $$xy^2 = y^2x.$$

Recuerdo, sin embargo, que también se $y^3$ viajes con $x$, por lo que, de hecho, $y$ sí desplazamientos con $x$.

Ya casi hemos terminado. Usando el conocimiento de que $x$ $y$ viaje, la primera relación \eqref{e1} nos da ese $x^2 = x^2y^3$ o $y^3=1$. Luego, a partir de $y^3 = 1$ e \eqref{e2} obtenemos $$x^7 = yx^{-1}y^2 = x^{-1}y^3 = x^{-1},$$ de modo que $x^8 = 1$.

Esto muestra que el grupo de $G$ se define por su presentación es abelian, generado por $x$ de fin de dividir $8$ $y$ de fin de dividir $3$. Dado que las órdenes de $x$ $y$ son coprime, tenemos $$\langle x\rangle\cap\langle y\rangle = 1$$ en $G$, y por lo $G = \langle x\rangle\times\langle y\rangle = \langle xy\rangle$ es cíclico. También sabemos que el orden de las $G$, que es igual a $\mid\langle x\rangle\mid\cdot\mid\langle y\rangle\mid$, es un divisor de a $24 = 8\cdot 3$.

Finalmente, para mostrar que las órdenes de $x$ $y$ son de hecho $8$$3$, respectivamente, Lo voy a dejar como un ejercicio para demostrar que el mapa $$G\to\langle (1,2,3,4,5,6,7,8)(9,10,11)\rangle$$ definidos en los generadores por $$x\mapsto (1,2,3,4,5,6,7,8)\;\;\text{and}\;\; y\mapsto (9,10,11)$$ en efecto, definir un homomorphism. (Basta con comprobar que la permutación imágenes de $x$ $y$ satisfacer las relaciones.)