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¿Cómo probar queP no tiene una raíz real?

Deje P(z) ser un monic polinomio con coeficientes complejos con todos los raíces distintas y en {zC:(z)<0}.

(a) Demostrar que la suma de todos los residuos de PP es el grado del polinomio P.

(b) Demostrar que P no tiene ninguna raíz real.

Mi idea era que la opción de (a) como puedo tomar f(z)=p(z)p(z)

deg(p(z))deg(p(z))+2

Residuo teorema: Si f es analítica en un dominio, excepto para los aislados singularidades ena1,ak, entonces para cualquier contorno cerrado γD en el que ninguno de los puntos de ak mentira, tenemos 12πiγf(z)dz=k1n(γ;ak)Res[f(z);ak].

Aquí no sé cómo proceder.

Para la opción (b) si puedo tomar incluso polinomio de grado que p(x)=x2+1 no tiene raíces reales

Como no sé la prueba real. Por favor, ayudar y ayudarme.

Gracias de antemano por su ayuda.

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phalacee Puntos 1060

La primera parte es un residuo teorema de ejercicio. Para la segunda parte, escribe p(z)=(zai), donde el ai son las raíces de p, posiblemente con la repetición. A continuación,p(z)/p(z)=1zai. Supongamos z es cualquier número complejo con (z)0. Entonces (p(z)/p(z))=(1zai)=(\barrazˉai|zai|2). Ahora desde (z)0, se deduce que el (zai)>0  todos los i, por lo tanto (ˉzˉai)<0 todos los i, por lo tanto (p(z)/p(z))0, por lo tanto p(z)0.

Nota: acabo de tomar la prueba de Gauss-Lucas teorema del artículo de wikipedia, y tomó un atajo apropiado para el caso especial.

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