¿Cómo probar que$ {P^{'}}$ no tiene una raíz real?

Question

Deje $P(z)$ ser un monic polinomio con coeficientes complejos con todos los raíces distintas y en $\{z \in C : \Im(z) \lt 0\}$.

$(a)$ Demostrar que la suma de todos los residuos de $\frac{P^{'}}{P}$ es el grado del polinomio $P$.

$(b)$ Demostrar que $ P^{'}$ no tiene ninguna raíz real.

Mi idea era que la opción de $(a)$ como puedo tomar $f(z)$=$\frac{p^{'}(z)}{p(z)}$

$\deg(p(z))\ge \deg(p^{'}(z))+2$

Residuo teorema: Si $f$ es analítica en un dominio, excepto para los aislados singularidades en$a_1,\dots a_k$, entonces para cualquier contorno cerrado $\gamma\in D$ en el que ninguno de los puntos de $a_k$ mentira, tenemos $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(z)dz=\sum_{1}^{k}n(\gamma;a_k)Res[f(z);a_k].$$

Aquí no sé cómo proceder.

Para la opción $(b)$ si puedo tomar incluso polinomio de grado que $p(x) =x^2+1$ no tiene raíces reales

Como no sé la prueba real. Por favor, ayudar y ayudarme.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La primera parte es un residuo teorema de ejercicio. Para la segunda parte, escribe $p(z) = \prod (z-a_i)$, donde el $a_i$ son las raíces de $p$, posiblemente con la repetición. A continuación,$p'(z)/p(z) = \sum \frac{1}{z-a_i} $. Supongamos $z$ es cualquier número complejo con $\Im(z) \ge 0$. Entonces $$ \Im(p'(z)/p(z)) = \Im \left(\sum \frac{1}{z-a_i}\right) = \Im\left(\sum \frac{\barra z - \bar a_i}{|z-a_i|^2}\right). $$ Ahora desde $\Im(z) \ge 0$, se deduce que el $\Im(z - a_i) > 0\ $ todos los $i$, por lo tanto $\Im(\bar z - \bar a_i) < 0$ todos los $i$, por lo tanto $\Im(p'(z)/p(z)) \ne 0$, por lo tanto $p'(z) \ne 0$.

Nota: acabo de tomar la prueba de Gauss-Lucas teorema del artículo de wikipedia, y tomó un atajo apropiado para el caso especial.