Fermionic cero modos en un instanton de fondo están en una correspondencia uno a uno con las soluciones a la ecuación de Dirac
$$(i D_\mu \gamma^\mu - m)\Psi = 0$$
donde la derivada parcial $D_\mu$ contiene el medidor de campo a largo plazo con el medidor de campo de la definición de la instanton solución sustituido en ella.
Queremos estudiar estas soluciones en el espacio-tiempo Euclidiano. El cero en el modo de "concentrados", cerca de la región donde el instanton es trivial, como la bosonic cero modos.
Efectivamente, el impulso de la modalidad cero en el espacio-tiempo es cero en casi todas partes: no hay ningún plano de onda a la izquierda. Mucho como la ecuación de Dirac con una masa cero tiene una solución en términos de un espacio-tiempo-constante spinor, la ecuación de Dirac en el instanton fondo tiene un modo cero. Pero cuando la masa es distinto de cero, no hay manera de encontrar una solución a la ecuación de Dirac. Lejos de la instanton, el medidor términos son insignificantes y se supone que debemos obtener una onda plana pero no hay ningún tipo de configuración, ya que el impulso de un planewave debe ser timelike y no hay timelike las direcciones en el Euclideanized el espacio-tiempo!
Así que para un valor distinto de cero en masa $m$, no habrá fermionic cero modos en el instanton.
Uno puede estudiar lo que ocurre cuando se $m$ se ajusta de $m=0$ a un valor distinto de cero $m$, a partir de un valor en el que se admite cero modos a un valor que no. La evolución es continua. En el $m=0$ de los casos, se encuentra cero modos para el zurdo Weyl spinor y uno para la mano derecha Weyl spinor. Estos dos cero modos de "equipo" para crear un modo distinto de cero que se permite "escapar" de un valor distinto de cero (timelike) impulso.
Muy general, el cero modos puede ser atrapado allí si uno tiene Weyl spinors pero el cero de los modos contiene dos veces la cantidad de grados de libertad y se puede mover libremente en la energía. Esta es la idea básica detrás del índice de teoremas: el número de fermionic cero modos (menos el número de fermionic cero modos con algunos "quiralidad" invertida) en varios SUSY y teorías similares es un entero que es invariante bajo todas continua de las deformaciones de la Hamiltoniana. Cuando hay uno zurdo y uno diestro solución, se puede emparejar para arriba y desaparecen de la lista de los cero modos, pero eso no cambia la diferencia que define el índice.
Respecto a la "desconcertante" de papel, tenga en cuenta que las masas de la mayoría de los SM fermiones son mucho más ligeras que la escala electrodébil donde $SU(2)\times U(1)_Y$ opera y que determina la duración típica de la escala de la electrodébil instantons; y ellos son incluso más pequeño que la QCD escala. Por lo que debe existir un sentido en el que las masas pueden ser descuidado por la mayoría de estos instantons. Uno puede obtener estos cero modos asumiendo $m=0$ y la corrección que viene de la pequeña pero distinto de cero en masa implica que estos modos son "casi cero" distinto de cero modos en lugar de estricta cero modos.
