Estimación de Monte Carlo de una proporción

Question

He estado trabajando en el siguiente problema como tarea.

Considere una variable aleatoria $X$ con pdf:

$f(x) = 3x^2$ si $0 \leq x \leq 1,\ $ más $0$

Deje que $Y = h(X) = \sqrt {X^2+1}$

Estimación $P(Y < 1.5)$ usando el El método de Monte Carlo y también presentar la desviación estándar de su estimación.

Empecé calculando el cdf, $C_X = x^3$ luego apliqué la transformación inversa y llegué a la conclusión de que podía usar $X = U^{1/3}$ para generar muestras de la distribución de $X$ .
Luego procedí a generar un $10^5$ muestras de $X$ aplicar $h(X)$ de tal manera que tenía muestras de $Y$ y luego simplemente conté cuántos eran menos de 1,5, finalmente dividí los conteos por el número de muestras ( $10^5$ ).

¿Es mi intuición correcta? Mi estimación de la proporción es siempre 1, lo que me parece muy impar, ¿en qué me equivoco?

También en un sentido puramente analítico hice algunas manipulaciones:

$P(Y \leq y) = P(h(X) \leq y) = P( \sqrt {X^2+1} \leq y) = P(X \leq \sqrt {y^2-1})=C_X( \sqrt {y^2-1})$

Desde $0 \leq x \leq 1$ los únicos valores $y$ puede tomar son $1 \leq y \leq \sqrt {2}$ ¿Es eso correcto? Si ese es el caso, ya que $ \sqrt {2} \leq 1.5$ que puede justificar que $P(Y < 1.5) = 1$ . ¿Estoy en lo cierto?

Tampoco tengo idea de cómo puedo calcular el SE de esta estimación.

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Su enfoque general parece estar bien.

Tenga en cuenta que su conteo por debajo de algún punto de corte tendrá una distribución binomial, por lo que se trata de un proporción binomial (para lo cual ya debería saber cómo calcular un error estándar).

Si su pregunta no contiene errores, entonces está en lo cierto que el $Y$ La variable nunca debe exceder $ \sqrt {2}$ en cuyo caso la proporción sería de 1. Antes de tratar de calcular el error estándar, considere... ¿cuál será la variabilidad en su estimación de 1? (Si la repitiera $k$ veces cuál sería la distribución de las estimaciones de la proporción? / ¿Cuál sería la varianza?)